1. 概述
需要說明的是，球體投影到像素空間的結果可能不是一個正圓，其半徑或者直徑大小隻能估算而沒有確定的值。根據參考資料，球體投影到像素空間的半徑的計算公式爲：
\[radius_{[clip\_space]} = radius * cot(fov / 2) / Z \tag{0}
\]
其中radius是球體的半徑，fov是攝像機視場角，z是球心到攝像機位置的距離。當然，由於最後得到的是裁剪空間的大小，需要換算到屏幕像素空間。
2. 詳論
根據我的理解，這個公式也是近似的。本人通過參考文獻得到的推導方式如下所示。
使用參考文章4中的插圖：
球體投影到像素空間的半徑其實就是h的像素長度。此時，有：
\[tan\theta = radius_{[clip\_space]} / z_{[clip\_space]} \tag{1}
\]
球體被投影到裁剪空間:
由投影變換的性質可知：
\[tan(fovy / 2) = 1 / z_{[clip\_space]} \tag{2}
\]
聯立(1)(2)式有，
\[radius_{[clip\_space]} = tan\theta * cot(fovy / 2) \tag{3}
\]
根據世界空間的集合關係，有：
\[tan\theta = r / l \tag{4}
\]
式(4)帶入式(3)中，有：
\[radius_{[clip\_space]} = r * cot(fovy / 2) / l \tag{5}
\]
在攝像機距離球心比較遠的情況下，可以認爲：
\[l \approx d
\]
也就是式(0)的由來。如果需要計算準確一點，那麼：
\[l = \sqrt{d^2 - r^2} \tag{6}
\]
上式帶入式(5)，就會有：
\[radius_{[clip\_space]} = r * cot(fovy / 2) / \sqrt{d^2 - r^2} \tag{7}
\]
最後換算到屏幕像素空間：
\[radius_{[screen\_space]} = \frac{r \cdot cot(\frac{fovy}{2}) \cdot height} {2\sqrt{d^2 - r^2}} \tag{8}
\]