點乘
基本概念
- 簡而言之就是矩陣各對應元素相乘。
- 需滿足乘數矩陣和被乘數矩陣的行向量或列向量相等，或兩者同時相等。
數學公式
S1 矩陣尺寸不完全相同
\[C=AB=
\begin{bmatrix}
a_{11} \\
a_{21}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23}
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
a_{11}b_{11} & a_{11}b_{12} & a_{11}b_{13} \\
a_{21}b_{21} & a_{21}b_{22} & a_{21}b_{23}
\end{bmatrix}
\]
S2 矩陣尺寸完全相同
\[C=AB=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23}
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
a_{11}b_{11} & a_{12}b_{12} & a_{13}b_{13} \\
a_{21}b_{21} & a_{22}b_{22} & a_{23}b_{23}
\end{bmatrix}
\]
Python測試代碼
numpy 庫中可使用運算符 * 或 multiply 函數計算。
A = np.array([[1],[2]])
B = np.array([[1,2,4],[1,4,5]])
C = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
X = A*B
array([[ 1, 2, 4],
[ 2, 8, 10]])
X == np.multiply(A,B)
array([[ True, True, True],
[ True, True, True]])
Y = B*C
array([[ 1, 4, 12],
[ 4, 20, 30]])
Y == np.multiply(B,C)
array([[ True, True, True],
[ True, True, True]])
需要點出的是：
當矩陣A和矩陣B的維度相同時，矩陣點乘即爲哈達瑪積（Hadamard Product），如下圖所示：
叉乘
基本概念
- 就是我們熟知的矩陣乘法。
- 中間相同留兩邊。
S1 示例
\[C=A \times B=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix}\times
\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23}
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} & a_{11}b_{13}+a_{12}b_{23} \\
a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} & a_{21}b_{11}+a_{22}b_{23}
\end{bmatrix}
\]
Python測試代碼
numpy 庫中可使用運算符 @ 或 dot 函數計算。
A = np.array([[1,2],[3,4],[1,5]])
B = np.array([[1,2],[2,1]])
A@B
array([[ 5, 4],
[11, 10],
[11, 7]])
A@B == np.dot(A,B)
array([[ True, True],
[ True, True],
[ True, True]])