ADK模型是一种描述原子或分子在强场中隧穿电离的理论模型，它基于渐进展开系数和隧穿概率的计算。自由电子在电磁场中加速，会受到电场和磁场的作用，其运动方程可以写为：
\[\frac{d\mathbf{p}}{dt}=q(\mathbf{E}+\frac{\mathbf{p}}{m}\times\mathbf{B})-\frac{\mathbf{p}}{\tau}
\]
其中\(\mathbf{p}\)是电子的动量，\(q\)是电荷量，\(m\)是质量，\(\tau\)是弛豫时间，\(\mathbf{E}\)和\(\mathbf{B}\)是电场和磁场。如果电场和磁场都是沿着\(z\)轴方向的，那么运动方程可以化简为：
\[\frac{dp_z}{dt}=qE-\frac{p_z}{\tau}
\]
\[\frac{dp_x}{dt}=qB\frac{p_y}{m}-\frac{p_x}{\tau}
\]
\[\frac{dp_y}{dt}=-qB\frac{p_x}{m}-\frac{p_y}{\tau}
\]
要知道不同时刻的电离速率和电子剩余能，我们需要求解这些微分方程，并利用ADK模型给出的隧穿概率公式：
\[W_{nl}(t)=\frac{(2qE)^{2n-l-1}}{(2n)!(n-l-1)!}\left(\frac{2(2qE)^{\frac{3}{2}}}{3}\right)^{2n-l+1}\exp\left(-\frac{2(2qE)^{\frac{3}{2}}}{3}\right)
\]
其中\(n\)和\(l\)是电子的主量子数和角量子数，\(E\)是电场强度。电离速率就是隧穿概率乘以单位时间内的碰撞次数，即：
\[R_{nl}(t)=W_{nl}(t)\frac{1}{\tau}
\]
电子剩余能就是电子在隧穿后的动能，即：
\[E_{nl}(t)=\frac{\mathbf{p}^2(t)}{2m}-I_{nl}
\]
其中\(I_{nl}\)是原子或分子的电离能。要计算电子平均剩余能，我们需要对所有可能的\(n\)和\(l\)以及所有可能的时间进行求和或积分，并除以总的电离速率，即：
\[\bar{E}(t)=\frac{\sum_{n,l}E_{nl}(t)R_{nl}(t)}{\sum_{n,l}R_{nl}(t)}=\frac{\int_0^t E(t')R(t')dt'}{\int_0^t R(t')dt'}
\]