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什麼是稀疏矩陣
稀疏矩陣是指矩陣中大部分元素爲零的矩陣。在實際應用中，很多矩陣都是稀疏的，比如網絡圖、文本數據等。由於矩陣中存在大量的零元素，因此稀疏矩陣的存儲和計算都具有一定的特殊性。
一般來說，在矩陣中，若數值爲0的元素數目遠遠多於非0元素的數目，並且非0元素分佈沒有規律時，則稱該矩陣爲稀疏矩陣；與之相反，若非0元素數目佔大多數時，則稱該矩陣爲稠密矩陣。下面的矩陣就是一個典型的稀疏矩陣：
優化稀疏矩陣數據存儲的方法
1.直接存儲爲二維矩陣
使用二維矩陣作爲電子表格的存儲方法具有簡單直接的優點，可以避免頻繁地創建或刪除內存段。然而，需要指出的是，這種方式在存儲值時可能會有一些不太高效的方面，因爲它會佔用大量的存儲空間來保存沒有實際內容的單元格。
在實際應用中通常使用三元組表示稀疏矩陣：
三元組的表示方法是：對於一個 m×n 的稀疏矩陣 A，我們只存儲矩陣中非零元素的信息，具體來說，將每個非零元素的行下標、列下標和值存儲下來，得到一個三元組(i,j,Ai,j)，其中 i 是行下標，j 是列下標，Ai,j 是 A 中對應位置的值。
以前面舉的稀疏矩陣爲例，其三元組表示如下：
(1, 4, 6)
(2, 2, 5)
(3, 3, 4)
直接存儲爲二維矩陣的複雜度：
- 佔用空間：O(N2) 。
- 插入數據：需要破壞矩陣。
- 刪除數據：需要破壞矩陣。
- 搜索數據：O(N2)。
- 訪問數據：O(1)。
N是假設行和列具有相同長度並形成正方形矩陣的行/列數。
2.通過鍵值對(Map, Dictionary)優化
通過鍵值對(Map, Dictionary)來優化，主要是利用哈希表的特性來快速查找元素。具體來說，可以將需要查找的元素作爲鍵，將存儲這些元素的數據結構作爲值，然後將它們存儲在一個哈希表中。這樣，當需要查找某個元素時，只需要使用該元素作爲鍵，通過哈希表的查找操作即可快速找到對應的值。
在實際應用中，常見的情況包括：
- 緩存數據：在需要頻繁訪問數據的場景中，通過建立一個緩存，將數據存儲在一個鍵值對的數據結構中，可以顯著提高數據的訪問效率。
- 字符串處理：在需要對字符串進行匹配、查找等操作的場景中，可以將字符串作爲鍵，將相應的處理結果作爲值，存儲在一個鍵值對的數據結構中，可以大幅提高字符串處理的效率。
- 數據庫操作：在需要對數據庫進行訪問的場景中，可以使用鍵值對數據結構來存儲查詢結果，避免重複執行查詢操作，減輕數據庫的負載。
在下圖中，將單元格位置和對應的單元格值以鍵值對的形式進行了存儲。
通過鍵值對(Map, Dictionary)優化稀疏數組的複雜度：
- 空間：O(N)。
- 插入：O(1)。
- 刪除：O(1)。
- 搜索：O(N)。
- 訪問：O(1)。
N爲所記錄的條目數。
3.通過數組存儲方式優化
在稀疏矩陣中，我們可以使用三個不同的數組來存儲行索引、列偏移、和其中的值，而不是直接在二維矩陣中存儲值。
存儲的三個數組：
- 值 =>單元格中的值。
- 行索引=>單元格的行索引。
- 列偏移=>這裏每個索引都代表列，並且該數組將行開始的索引值存儲在 Row 數組中。
下圖爲將稀疏數組轉化爲數組的形式：
稀疏矩陣具體的插入，刪除，搜索，訪問的代碼：
import java.util.HashMap;
import java.util.Map;
class SparseMatrix {
private int rows;
private int cols;
private Map<String, Integer> matrix;
public SparseMatrix(int rows, int cols) {
this.rows = rows;
this.cols = cols;
this.matrix = new HashMap<>();
}
public void insert(int row, int col, int value) {
if (row < 0 || row >= rows || col < 0 || col >= cols) {
throw new IndexOutOfBoundsException("Invalid matrix index");
}
if (value != 0) {
String key = row + "," + col;
matrix.put(key, value);
}
}
public void delete(int row, int col) {
String key = row + "," + col;
matrix.remove(key);
}
public int search(int row, int col) {
String key = row + "," + col;
return matrix.getOrDefault(key, 0);
}
public int access(int row, int col) {
if (row < 0 || row >= rows || col < 0 || col >= cols) {
throw new IndexOutOfBoundsException("Invalid matrix index");
}
String key = row + "," + col;
return matrix.getOrDefault(key, 0);
}
}
在上述代碼中，定義了一個 SparseMatrix 類來表示稀疏矩陣。在構造函數中，我們傳入矩陣的行數和列數，並創建了一個 HashMap 對象 matrix 來存儲非零元素。insert 方法用於向矩陣中插入元素，如果插入的值不爲零，則將其加入 matrix 中，其中鍵爲字符串形式的 row,col。delete 方法用於刪除指定位置的元素，通過 remove 方法從 matrix 中移除對應的鍵值對。search 方法用於搜索指定位置的元素，通過調用 getOrDefault 方法從 matrix 中獲取對應的值，如果不存在則返回默認值 0。access 方法用於訪問指定位置的元素，如果超出矩陣邊界則拋出異常，通過調用 getOrDefault 方法從 matrix 中獲取對應的值。
通過稀疏矩陣存儲方式優化的複雜度：
- 空間：O(N)。
- 插入：O(N)。
- 刪除：O(N)。
- 搜索：O(N)。
- 訪問：O(1)。
總結
相較於傳統的數組存儲或鍵值對存儲，稀疏矩陣存儲採用一種基於行索引的數據字典存儲方法，這種方法在處理鬆散佈局的表格數據時表現出色。與其他存儲方式不同，稀疏矩陣只存儲非空數據，無需額外開闢內存空間來存儲空數據。這種特殊存儲策略使得數據片段化變得容易，可以隨時框取整個數據層中的一片數據進行序列化或反序列化。如果在項目開發中需要存儲類似結構的數據，使用稀疏矩陣存儲方式能夠顯著提升性能，無論從時間還是空間上都有很大的優勢，葡萄城公司的純前端表格控件——SpreadJS正是藉助此功能實現了高性能渲染能力（100 毫秒內加載 10 萬行數據）。
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