上一节讲到了渲染方程，可以获得一个打出来的光线应该是自身发出的光和反射的光的总和。
Monte Carlo Integration(蒙特卡洛积分）
这是一种求解复杂函数（比如没有解析式的时候）定积分的数值方法。
定积分就是求解概率密度函数面积的过程。
证明可以参考蒙特卡洛积分的无偏性：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/365624460
这里有一个重要的想法就是，不要想它是怎么来的，只要证明它在期望上是无偏的，就可以使用它得到定积分了。
更直观的，当分布是均匀分布的时候。可以认为是取了N个采样点，对采样点\(x_i\)高度为\(f(x_i)\)，底是(b-a)，面积就是\(f(x_i)*(b-a)\)，N个求和：
注意：这里的分布也可以是其他分布，但是要除以对应分布。
综上，蒙特卡洛积分：
因为是数值的方法，用采样去模拟积分的过程。所以采样越多，误差越小。
Path Tracking
在之前的Ray Tracking，主要是Whitted-Style的Ray Tracking），在Whitted-Style Ray Tracking中的定义是：
Whitted-style ray tracing：
- Always perform specular reflections / refractions（执行的都是镜面反光，对glossy这种反光没有定义）
- Stop bouncing at diffuse surfaces（遇到漫反射物体后会停下来，但是这是不对的，因为漫反射出来的肯定也要渲染出来）
从这两个角度上看，Whitted-Style Ray Tracing is Wrong（翻了之前的笔记，当初好像没有具体讲Whitted-Style Ray Tracing是怎么做的，大概介绍了Whitted-Style Ray Tracing的含义是光线会多次弹射）。但是上一节从物理层面推出的渲染方程是正确的，但是问题就是怎么解这个方程？
渲染方程的求解
求解包含两个问题
- 在半球上的积分
- 递归
首先，关于反射方程中的积分，使用第一部分介绍的蒙特卡洛积分解决。这里我们先简单的在半球面上实现遵从均分分布的采样：\(p(w_i)=1/2\pi\)，并且认为打到的目标是光源。
我们定义shader(p,wo)，p是弹射的位置,wo是弹射点到眼睛的连线。
带入，可得：
进一步，当我们打到的东西是物体的时候，这也是一个相似的过程。物体收到别的光源和物体弹射的光，让这个物体也变成一个光源（这里的光源都是面光源），这个时候这个p就是眼睛，那么这一物体光源q发出的光线就是shader(q,-wi)。wi是p到q的连线，对q来说，应该是-wi：
这里理论上渲染方程已经表达出来了，但是真的这么求解的话，会有一些问题：
- 问题一：假如我们采样很多，那我们的光线打出去之后，会以指数级增长。
- 问题二：递归算法需要定义出口。【目前只有一个出口就是碰到光源，但是有一些终点没打到光源的怎么办？】
针对问题一：
我们一次path tracking只进行一条线（也就是一个采样），但是可以进行多次path tracking【我认为也可进行多次采样，只不过要自己决定策略，不然光线数量就会爆炸】。
针对问题二：
最简单的想法是在一定弹射次数后跳出。但是这样的话，因为弹射次数越多其实我们的结果应该越好，但是不能无限的弹射下去，我们又想让我们的结果接近应有结果。于是，使用了俄罗斯轮盘赌，【也是一个无偏估计】（这里怎么和弹射次数关联起来呢？）
我们以P的概率射出，这部分得到的结果/P为最终结果。（1-P）的概率不射出，这样得到的结果是0。
在这之后，发现效率比较低。是因为有大量的光线弹射出去没有找到光源，得到0的返回值，这种光线就被浪费了。
那么如果可以对光源进行采样，是不是就会解决这种情况？但是蒙特卡洛积分只对我采样的东西积分（也就是积分的东西肯定和积分域是对应的），因此做一个积分域的转换在新的光源积分域上进行积分：
那么，就要找到半球上的w立体角和光源的单位面积之间的关系。这里应该是把光源想象成在一个更大的球上，成为单位立体角的话要除以大R的平方：
最终，式子为：
这样的话，对半球的积分就变成了对光源的积分，这样就是说打出去的光都会到光源上，那么就是光源直接打到p位置上的部分，也就是直接光照。但是和之前不一样的是，这部分不进行轮盘赌，我理解是这部分通过对光源计算可以准确算出来，就不要轮盘赌了。而间接的光【目的不是光源的物体，那这里本身会发光又会反射的怎么办？】要进行轮盘赌来做一个无偏估计。
还需要判断点和光源之间有没有物体遮挡：
最终是振奋人心的渲染效果：
总结
到这里，Path Tracking的基本想法就结束，当然存在一些问题。但是这里仅仅关注最终的Path Tracking部分：
也就是一条path渲染一个眼睛看到的一个点，
shade(p,wo):
-
直接光照计算的是能看到这个点的面光源【这里如果有多个面光源应该要每个单独计算然后加起来】：
\(L\_dir=L\_i*f\_r*cos\theta *cos\theta'/ |x'- p|^2 / pdf\_light\) 【渲染方程+蒙特卡洛】 -
当弹射目标不是光源的时候，使用俄罗斯轮盘赌(RR)，计算\(L\_indir\):
当生成的随机数大于P_RR时，go die，返回0；
小于P时，随机采样射线并且目标不是光源，然后计算：
\(L\_indir=shade(q,-wi)*f\_r*cos\theta / pdf\_hemi/ P\_RR\)【蒙特卡洛积分除一次半球的面积，俄罗斯轮盘除一次P_RR】
return L_dir+L_indir
最终对来源于多个path的shade累加平均或者做别的操作，最终再转化为像素