上一節講到了渲染方程，可以獲得一個打出來的光線應該是自身發出的光和反射的光的總和。
Monte Carlo Integration(蒙特卡洛積分）
這是一種求解複雜函數（比如沒有解析式的時候）定積分的數值方法。
定積分就是求解概率密度函數面積的過程。
證明可以參考蒙特卡洛積分的無偏性：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/365624460
這裏有一個重要的想法就是，不要想它是怎麼來的，只要證明它在期望上是無偏的，就可以使用它得到定積分了。
更直觀的，當分佈是均勻分佈的時候。可以認爲是取了N個採樣點，對採樣點\(x_i\)高度爲\(f(x_i)\)，底是(b-a)，面積就是\(f(x_i)*(b-a)\)，N個求和：
注意：這裏的分佈也可以是其他分佈，但是要除以對應分佈。
綜上，蒙特卡洛積分：
因爲是數值的方法，用採樣去模擬積分的過程。所以採樣越多，誤差越小。
Path Tracking
在之前的Ray Tracking，主要是Whitted-Style的Ray Tracking），在Whitted-Style Ray Tracking中的定義是：
Whitted-style ray tracing：
- Always perform specular reflections / refractions（執行的都是鏡面反光，對glossy這種反光沒有定義）
- Stop bouncing at diffuse surfaces（遇到漫反射物體後會停下來，但是這是不對的，因爲漫反射出來的肯定也要渲染出來）
從這兩個角度上看，Whitted-Style Ray Tracing is Wrong（翻了之前的筆記，當初好像沒有具體講Whitted-Style Ray Tracing是怎麼做的，大概介紹了Whitted-Style Ray Tracing的含義是光線會多次彈射）。但是上一節從物理層面推出的渲染方程是正確的，但是問題就是怎麼解這個方程？
渲染方程的求解
求解包含兩個問題
- 在半球上的積分
- 遞歸
首先，關於反射方程中的積分，使用第一部分介紹的蒙特卡洛積分解決。這裏我們先簡單的在半球面上實現遵從均分分佈的採樣：\(p(w_i)=1/2\pi\)，並且認爲打到的目標是光源。
我們定義shader(p,wo)，p是彈射的位置,wo是彈射點到眼睛的連線。
帶入，可得：
進一步，當我們打到的東西是物體的時候，這也是一個相似的過程。物體收到別的光源和物體彈射的光，讓這個物體也變成一個光源（這裏的光源都是面光源），這個時候這個p就是眼睛，那麼這一物體光源q發出的光線就是shader(q,-wi)。wi是p到q的連線，對q來說，應該是-wi：
這裏理論上渲染方程已經表達出來了，但是真的這麼求解的話，會有一些問題：
- 問題一：假如我們採樣很多，那我們的光線打出去之後，會以指數級增長。
- 問題二：遞歸算法需要定義出口。【目前只有一個出口就是碰到光源，但是有一些終點沒打到光源的怎麼辦？】
針對問題一：
我們一次path tracking只進行一條線（也就是一個採樣），但是可以進行多次path tracking【我認爲也可進行多次採樣，只不過要自己決定策略，不然光線數量就會爆炸】。
針對問題二：
最簡單的想法是在一定彈射次數後跳出。但是這樣的話，因爲彈射次數越多其實我們的結果應該越好，但是不能無限的彈射下去，我們又想讓我們的結果接近應有結果。於是，使用了俄羅斯輪盤賭，【也是一個無偏估計】（這裏怎麼和彈射次數關聯起來呢？）
我們以P的概率射出，這部分得到的結果/P爲最終結果。（1-P）的概率不射出，這樣得到的結果是0。
在這之後，發現效率比較低。是因爲有大量的光線彈射出去沒有找到光源，得到0的返回值，這種光線就被浪費了。
那麼如果可以對光源進行採樣，是不是就會解決這種情況？但是蒙特卡洛積分只對我採樣的東西積分（也就是積分的東西肯定和積分域是對應的），因此做一個積分域的轉換在新的光源積分域上進行積分：
那麼，就要找到半球上的w立體角和光源的單位面積之間的關係。這裏應該是把光源想象成在一個更大的球上，成爲單位立體角的話要除以大R的平方：
最終，式子爲：
這樣的話，對半球的積分就變成了對光源的積分，這樣就是說打出去的光都會到光源上，那麼就是光源直接打到p位置上的部分，也就是直接光照。但是和之前不一樣的是，這部分不進行輪盤賭，我理解是這部分通過對光源計算可以準確算出來，就不要輪盤賭了。而間接的光【目的不是光源的物體，那這裏本身會發光又會反射的怎麼辦？】要進行輪盤賭來做一個無偏估計。
還需要判斷點和光源之間有沒有物體遮擋：
最終是振奮人心的渲染效果：
總結
到這裏，Path Tracking的基本想法就結束，當然存在一些問題。但是這裏僅僅關注最終的Path Tracking部分：
也就是一條path渲染一個眼睛看到的一個點，
shade(p,wo):
-
直接光照計算的是能看到這個點的面光源【這裏如果有多個面光源應該要每個單獨計算然後加起來】：
\(L\_dir=L\_i*f\_r*cos\theta *cos\theta'/ |x'- p|^2 / pdf\_light\) 【渲染方程+蒙特卡洛】 -
當彈射目標不是光源的時候，使用俄羅斯輪盤賭(RR)，計算\(L\_indir\):
當生成的隨機數大於P_RR時，go die，返回0；
小於P時，隨機採樣射線並且目標不是光源，然後計算：
\(L\_indir=shade(q,-wi)*f\_r*cos\theta / pdf\_hemi/ P\_RR\)【蒙特卡洛積分除一次半球的面積，俄羅斯輪盤除一次P_RR】
return L_dir+L_indir
最終對來源於多個path的shade累加平均或者做別的操作，最終再轉化爲像素