循環羣(Cyclic Group)
生成子羣
對於任意羣\(G\)的非空子集\(A\)，定義\(\lang A\rang =\bigcap\limits_{i \in I}H_i\)，其中\(H_i\)是所有包含\(A\)的\(G\)的子羣。稱\(\lang A\rang\)是由\(A\)生成的子羣。容易理解與證明，\(\lang A\rang\)是包含\(A\)的\(G\)的最小子羣。
我們可以證明，\(\lang A\rang=\{x_1\circ x_2\circ \cdots\circ x_n\mid n\in \N,x_i\in A\cup A^{-1}\}\)（利用子羣的最後一個等價定義\(a\circ b^{-1}\)）。也就是說，由\(A\)生成的子羣恰好是所有由\(A\)與\(A^{-1}\)中元素運算得到的全部元素。
循環羣的定義
我們特別來關注由單個元素生成的子羣。我們把\(\lang \{a\}\rang\)簡記爲\(\lang a\rang\)，我們把這樣由單個元素生成的羣稱爲循環羣。從定義來看，我們並沒有定義任何與“循環”有關的性質，但通過分析我們會發現，正是生成子羣的性質產生了循環的性質。根據\(\lang A\rang=\{x_1\circ x_2\circ \cdots\circ x_n\mid n\in \N,x_i\in A\cup A^{-1}\}\)這一性質，我們立即得到\(\lang a\rang=\{a^n\mid n \in \Z\}\)，也就是說循環羣一定能寫成生成元\(a\)的任意整數次冪的集合的形式。此時有兩種情況，要麼所有的\(a^n\)都互不相同，這樣我們就得到了一個無限的羣\(\{\cdots,a^{-2},a^{-1},a^0,a^1,a^2,\cdots\}\)，這裏依然沒有看到循環的性質。但只要存在\(i\neq j\)使得\(a^i=a^j\)，循環就產生了——根據消去律，我們得到\(a^{i-j}=a^0=e\)，那麼每經過\(i-j\)輪羣的元素就會完全重疊，產生“循環”。如果我們找到最相鄰的\(i,j\)使得\(a^i=a^j\)，記\(i-j=n\)，那麼循環羣就可以表示爲\(\{1,a,a^2,\cdots,a^{n-1}\}\)。（由於\(i,j\)是最相鄰的，因此這\(n\)個元素必定互不相同。）循環羣總是隻有以上兩種形式，因爲這兩者只是生成元素中有沒有重複產生的差別。
容易驗證，無限循環羣\(\{\cdots,a^{-2},a^{-1},a^0,a^1,a^2,\cdots\}\)與\((\Z,+)\)同構；有限循環羣\(\{1,a,a^2,\cdots,a^{n-1}\}\)與\((\Z_n,+_{\text{mod }n})\)同構。
循環羣的生成元
對於有限循環羣\(\{1,a,a^2,\cdots,a^{n-1}\}\)，我們知道\(a\)一定是它的一個生成元。現在要問，是否還存在別的生成元？我們定義，對於\(g\in G\)，使得\(g^k=1\)的最小正整數\(k\)稱爲元素\(g\)的階(order)，記爲\(|g|=k\)。如果不存在這樣的正整數，則稱階爲無窮大。我們注意到，如果\(|g|=t\)，則一定有\(|g^s|=\dfrac{t}{gcd(t,s)}\)：\((g^s)^{\frac{t}{gcd(t,s)}}=(g^t)^{\frac{s}{gcd(t,s)}}\)，而\(g^t=1\)，因此\(\dfrac{t}{gcd(t,s)}\)一定是一個可行的指數；而假設\(|g^s|=m\)，那麼\(g^{sm}=1\)，因此一定有\(t\mid sm\)。記\(t=gcd(t,s)\cdot t',s=gcd(t,s)\cdot s'\)，則\(gcd(t',s')=1\)，所以\(t'\mid s'm\)，那麼只能是\(t'\mid m\)，也即\(\dfrac{t}{gcd(t,s)}\mid m\)，這說明\(\dfrac{t}{gcd(t,s)}\)已經是最小的可行指數了。現在我們已知\(a\)是\(\lang a\rang\)的生成元，因此\(|a|=n\)，對於任意的\(a^k\)如果它也是生成元，當且僅當\(|a^k|=n\)。而我們已經證明了\(|a^k|=\dfrac{n}{gcd(n,k)}\)，因此當且僅當\(gcd(n,k)=1\)時\(a^k\)也是生成元。這就得到了，\(\lang a\rang\)共有\(\varphi(n)\)（歐拉函數）個生成元，分別是以所有與\(n\)互質的數作爲指數的那些元素。
注意，如果\(|g^t|=k\)，自然意味着\(\lang g^t\rang\)中有且僅有\(k\)個元素。我們稱爲\(\lang g^t\rang\)的階爲\(k\)。也即，循環羣中元素的階等於該元素生成的循環羣的階。
循環羣的子羣
循環羣的子羣一定也是循環羣。對於循環羣\(G\)，可以寫作\(G=\{g^k\mid k \in \Z\}\)。對於\(H\preceq G\)，可以記爲\(H=\{g^{i_1},g^{i_2},\cdots\}\)。對於\(|H|=1\)，顯然；否則\(|H|\geq 2\)，我們總能在\(g^{i_j}\)中找到一個絕對值最小且不爲零的整數\(i\)。容易發現，一定成立\(H=\lang g^i\rang\)：首先，我們有\(\lang g^i\rang\subseteq H\)，因爲\(\lang g^i\rang\)定義爲\(G\)中所有包含\(g^i\)的子羣的交，而\(H\)就是這樣的子羣，因此肯定被交在內；其次，\(\forall g^{i_j}\in H\)，可以寫出商式\(i_j=qi+r\)，那麼\(g^{i_j}=g^{qi}\cdot g^r\)。也即\(g^{i_j-qi}=g^r\)。因爲\(H\)具有封閉性，而\(g^{i_j},g^i\in H\)，因此有\(g^{i_j-qi}\in H\)，也即\(g^r\in H\)。這意味着\(r\)不可能比\(i\)更小，因此任何\(i_j\)都一定是\(i\)的倍數，這說明\(H\subseteq \lang g^i\rang\)。綜上，\(H=\lang g^i\rang\)。
無限循環羣的子羣全都是循環羣，而每個循環羣又必須是由羣中的某個元素生成的，所以對於無限循環羣\(G=\{g^k\mid k\in \Z\}\)，我們只需在\(\{\lang g^k\rang\mid k \in \Z\}\)中剔除重複的羣就得到了\(G\)的所有子羣。顯然，\(\forall k\)，\(\lang g^k\rang=<g^{-k}\rang\)。而\(\forall i> j\geq 0\)，一定有\(\lang g^i\rang\neq \lang g^j\rang\)，因爲\(g^j\not \in\lang g^i\rang\)。綜上，無限循環羣\(G\)的所有子羣就恰好是\(\{\lang g^d\rang\mid d\in \N\}\)。
對於有限循環羣\(G=\{1,g,\cdots,g^{n-1}\}\)，我們已經知道它有\(\varphi(n)\)個生成元，因此由這些生成元生成的循環羣（\(G\)的子羣）一定相等。如何寫出\(G\)的所有不同子羣呢？我們發現，對於\(g^s\)，一定有\(\lang g^s\rang=\lang g^{gcd(n,s)}\rang\)。記\(d=gcd(n,s)\)，根據\(d\mid s\)，那麼\(g^s \in \lang g^d\rang\)，因此\(\lang g^s\rang\subseteq \lang g^d\rang\)；而\(|\lang g^s\rang|=|g^s|=\dfrac{|g|}{gcd(|g|,s)}=\dfrac{n}{d}\)，\(|\lang g^d\rang|=|g^d|=\dfrac{n}{gcd(n,d)}=\dfrac{n}{d}\)。綜上，\(\lang g^s\rang\subseteq \lang g^d\rang\)且\(|\lang g^s\rang|=\lang g^d\rang\)並且是有限羣，因此\(\lang g^s\rang=\lang g^d\rang\)。所以對於\(0<s<n\)，如果\(s\)不是\(n\)的因子，那麼\(\lang g^s\rang\)就一定與\(\lang g^{gcd(n,s)}\rang\)重複。而對於任何\(s\mid n\)，\(|\lang g^s\rang|=\dfrac{n}{s}\)，也即\(\lang g^s\rang\)互不相同。因此有限羣\(G\)的所有子羣就可以表示爲\(\{\lang g^s\rang\mid 0\leq s < n,s\mid n\}\)。
對稱羣(Symmetric Group)和變換羣(Group of Transformation)
對於非空集合\(M\)，把所有\(M\)到\(M\)的雙射收集到集合\(T(M)\)。定義運算\(\circ\)表示\(T(M)\)中一個雙射與另一個雙射的複合，那麼可以驗證\((T(M),\circ)\)構成了一個羣。這隻需驗證四條性質：雙射覆合雙射依然是雙射，封閉性成立；映射的複合滿足結合律；存在單位元爲恆等映射；存在逆元爲逆映射。我們稱羣\((T(M),\circ)\)爲\(M\)的對稱羣，稱\(M\)的對稱羣的子羣爲\(M\)的變換羣。
平面的運動羣
平面\(\R^2\)上有一種稱爲保距變換的特殊雙射，任意兩點間的歐氏距離在映射前後都保持不變。可以證明，這樣的變換隻有三種基本的幾何形式，分別是平移、旋轉和沿軸做對稱。我們稱這種保距變換爲“運動”，記\(\R^2\)上所有的運動爲集合\(M(\R^2)\)。顯然，\(M(\R^2)\)是\(T(\R^2)\)的子集，我們可以進一步驗證它構成羣，也即平面的運動羣是平面的一個變換羣：兩個運動的複合依然是運動，因爲仍然保矩，故封閉性成立；結合律繼承平面對稱羣的結合律；恆等映射是保矩的，因此存在單位元；逆映射也是運動，因此存在逆元。綜上，\((M(\R^2),\circ)\)構成羣。
稱\(\R^2\)的一個子集爲平面上的一個圖形，記爲\(K\)。如果\(K\)經過運動後恰好完全與原來的自身重合，我們就把這樣的運動收集進集合\(S(K)\)。用同樣的方法可以驗證，\((S(K),\circ)\)也構成羣，稱爲圖形\(K\)的對稱羣。容易發現，一個圖形的對稱羣規模越大，說明圖形的對稱性越好。例如可以證明，正三角形的對稱羣大小爲\(6\)，正方形的對稱羣大小爲\(8\)，而圓的對稱羣爲無限羣。
數環與數域\(\newcommand{\F}{\mathbb{F}}\newcommand{\E}{\mathbb{E}}\)
對於複數\(\C\)上含有實數\(0,1\)的子集\(R\)，如果\(R\)對加法、減法、乘法封閉，則稱\(R\)爲一個數環；如果\(R\)對加法、減法、乘法、除法（非0）封閉，則稱\(R\)爲數域。例如，\(\Z\)是一個數環但不是數域，因爲整數的除法是不封閉的；\(\Q,\R,\C\)都是數域，可以證明，\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in \Q\}\)也是數域。
一般地對於數域\(\F\)，如果存在一個\(\F\)到\(\F\)的雙射\(\phi\)，使得\(\phi\)滿足\(\forall x,y\in \F\)始終成立\(\phi(x+y)=\phi(x)+\phi(y)\)，\(\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)\)，則稱\(\F\)是自同構(automorphic)的。顯然只要取\(\phi\)爲恆等映射，自同構總是成立的。而我們關注的是不同的\(\phi\)的個數，我們對\(\phi\)的要求實際上是數域對加減乘除四則運算在結構上的保持，使得自同構成立的\(\phi\)越多，說明數域\(\F\)具有更好的對稱性。所有的\(\phi\)是\(\F\)到\(\F\)的雙射，因此\(\phi\)的集合（記爲\(Aut(\F)\)）是\(T(\F)\)的子集。容易進一步驗證，\(Aut(\F)\)是滿足封閉、結合律、單位元和逆元的，因此\((Aut(\F),\circ)\)實際上構成了\((T(\F),\circ)\)的一個子羣，也即\((Aut(\F),\circ)\)是\(\F\)上的變換羣。這個羣就稱爲\(\F\)的自同構羣，自同構羣的大小反應\(\F\)的對稱性。
根據自同構的定義容易驗證，對於任意滿足要求的\(\phi\)，一定成立：\(\phi(0)=0\)；\(\phi(1)=1\)；\(\phi(-x)=-\phi(x)\)；\(\phi(x-y)=\phi(x)-\phi(y)\)；\(\forall x\neq 0,\phi(x^{-1})=\phi(x)^{-1}\)。
對於有理數域\(\Q\)，一定成立\(\forall n\in\N\)，\(\phi(n)=n\)。進一步\(\phi(-n)=-\phi(n)=-n\)，\(\phi(1/n)=n^{-1}=1/n\)，\(\phi(m/n)=m/n\)。因此\(Aut(\Q)\)中只有恆等映射一個元素。對於數域\(\Q(\sqrt{2})\)，按照相同的推導，所有有理數上的映射只能到自身。對於\(\phi(a+b\sqrt{2})\)，它必須等於\(a+b\phi(\sqrt{2})\)。而對於\(\phi(\sqrt{2})\)，必然滿足\(\phi(2)=\phi(\sqrt{2})^2\)，因此只能有\(\phi(\sqrt{2})=\pm \sqrt{2}\)。可以驗證，這兩種取值都是可行的。因此\(\Q(\sqrt{2})\)的自同構羣有兩個元素。同理，\(\Q(\sqrt{2},\sqrt{3})=\{a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{2}\sqrt{3}\}\)的自同構羣有\(4\)個元素，分別是\(\phi(\sqrt{2})=\pm\sqrt{2}\)與\(\phi(\sqrt{3})=\pm\sqrt{3}\)（事實上，是一個大小爲4的非循環羣）。
對於數域\(\mathbb{E}\)，取\(\E\)的子集\(\F\)，定義\(Aut(\E:\F)=\{\phi\in Aut(\E)\mid \forall x\in\F,\phi(x)=x\}\)。這稱爲\(\E\)在\(\F\)上的對稱羣，其中的映射在\(\E\)上自同構，還要求在\(\F\)上保持恆等。剛纔我們實際上已經驗證了，\(Aut(\Q(\sqrt{2}):\Q)=Aut(\Q(\sqrt{2}))\)，等等。
對稱多項式
一個數域\(\F\)上的\(n\)元多項式可以記爲\(f(x_1,\cdots,x_n)=\sum\limits_{\alpha}a_\alpha x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}\)，其中\(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\)取正整數，\(a_\alpha\)取\(\F\)中的元素。記\(\F\)上所有可能的\(n\)元多項式全體爲集合\(\F[x_1,\cdots,x_n]\)。係數決定了一個多項式的特性，因爲我們總是可以把各個項按照指數的某種規律排列整齊的。而係數的選擇可以是\(\F\)中的所有元素。\(\F[x_1,\cdots,x_n]\)中有無窮多個元素，因此自然\(T(\F[x_1,\cdots,x_n])\)中也有無窮多個雙射。
對於\(n\)個元素的集合\(M=\{x_1,\cdots,x_n\}\)，它對應的雙射集合\(T(M)\)中恰好共有\(n!\)個雙射，也即\(M\)的對稱羣大小爲\(n!\)。這個羣裏的任何一個雙射本質上對應着一個\(n\)階的permutation。對於每一個permutation \(\sigma=(i_1,i_2,\cdots,i_n)\)，我們都可以構造一個\(n\)元多項式的映射\(\phi_\sigma:f(x_1,\cdots,x_n)\to f(x_{i_1},\cdots,x_{i_n})\)。我們發現，\(\phi_\sigma\)是\(\F[x_1,\cdots,x_n]\)上的一個雙射（又是單射，又是滿射）。如果把所有可能的\(\sigma\)對應的雙射\(\phi_\sigma\)收集起來，我們就得到了\(T(\F[x_1,\cdots,x_n])\)的一個子集，並且我們可以進一步驗證對於\(T_n=\{\phi_{\sigma_i}\}\)，\((T_n,\circ)\)是一個羣（封閉，結合律，單位元，逆元）。也即我們找到了一個\(\F[x_1,\cdots,x_n]\)上的變換羣（對稱羣的子羣），稱爲\(\F[x_1,\cdots,x_n]\)的\(n\)元對稱羣。
對於\(\F[x_1,\cdots,x_n]\)的一個多項式\(f\)，定義\(S_f=\{\phi_{\sigma}\in T_n\mid \phi_\sigma(f)=f\}\)，也即經過變元的輪換後保持多項式完全不變的映射集合。我們容易發現\((S_f,\circ)\)也是羣，這稱爲多項式\(f(x_1,\cdots,x_n)\)的對稱羣。我們容易把多項式的對稱羣與平面圖形的對稱羣類比，對稱一詞本質上描述的是在某種變化下的不變性。多項式的對稱羣描述了變元的輪換下多項式保持不變的性質。
Cayley's Theorem
任何一個羣\((G,\cdot)\)作爲集合\(G\)都有對應的對稱羣\(T(G)\)。Cayley定理指出，總是存在一個\(T(G)\)的子羣（即\(G\)的某個變換羣）與\(G\)同構。如何來構造這個子羣呢？首先這個子羣應當與\(G\)有相同的大小。我們依次取\(G\)中的每個元素\(g\in G\)，構造一個雙射\(\psi:x\to g\cdot x\)。（爲什麼這是雙射呢？先驗證單射，假如\(g\circ x_1= g\circ x_2\)，那麼根據消去律就得到\(x_1=x_2\)；再驗證滿射，對於任意的\(y\in G\)，總存在\(x=g^{-1}\cdot y\in G\)使得\(g\cdot x=y\)。事實上，這是一個羣的普遍的性質。由羣中的一個特定元素左乘（或右乘）而構造而成的映射總是一個雙射）。把所有的\(\psi\)收集到一起構成集合\(U=\{\psi_g\mid g\in G\}\)，\(U\)是\(T(G)\)的一個子集。注意到，\(U\)是\(G\)到\(T(G)\)的單射，因爲假如\(\psi_g=\psi_h\)，說明對任意的\(x\)都有\(g\cdot x=h\cdot x\)，根據右消去律得到\(g=h\)。換言之，我們找到了\(G\)與\(U\)的一個雙射\(f:g\to \psi_g\)。驗證四條性質容易證明，\((U,\circ)\)構成了一個羣（也即\((U,\circ)\)是\(G\)的一個變換羣），並且\(f\)保持運算：\(f(g_1\cdot g_2)=\psi_{g_1\cdot g_2}=\psi_{g_1}\circ \psi_{g_2}\)。綜上，\((G,\cdot)\cong (U,\circ)\)。
置換羣(Permutation Groups)
在對稱多項式的例子中我們已經看到，集合\(\{1,2,\cdots,n\}\)的對稱羣就是所有\(n\)階permutation構成的羣。我們把它記爲\(S_n\)，它的大小爲\(n!\)。我們把\(S_n\)的子羣稱爲置換羣。由於我們總可以把任何有限羣都看作是集合\(\{1,2,\cdots,n\}\)，而根據Cayley定理，任何一個羣都與其對稱羣的一個子羣同構。那麼我們總可以說，任何一個\(n\)階有限羣都與一個\(n\)階置換羣同構。因此研究置換羣就是在研究所有有限羣的結構。
對於任何一個\(n\)階permutation \(\pi=(i_1,i_2,\cdots,i_n)\)，我們總是可以把它拆解爲若干個輪換(cycles)。從某個元素\(i\)出發，\(i,\pi(i),\pi(\pi(i)),\cdots\)，最後總會回到起點\(i\)，因爲我們總共只有\(n\)個互不相同的元素。這樣，任何一個permutation本質上就可以寫作若干個不相交的輪換，例如\(3 \ 5\ 4\ 1\ 2\ 6\)就可以寫作\((1,3,4)(2,5)(6)\)：從第一個位置出發，我們發現\(3\)佔據了原本\(1\)所在的位置，那麼我們繼續尋找誰佔了\(3\)的位置，發現是\(4\)，而佔據\(4\)的恰好是最先的\(1\)。這樣\((1,3,4)\)這三個位置上恰好是後一個頂替前一個做了一個平移。剔除這三個位置以後，我們繼續尋找別的這樣的cycle。最終一個permutation一定會被分解成若干個互不相交的cycle。由此可見，輪換實際上是permutation的另一種表示法。大小爲偶數的輪換稱爲偶輪換(even cycle)，大小爲奇數的輪換稱爲奇輪換(odd cycle)，大小爲2的輪換稱爲一個對換(transposition)。
我們不關心每個輪換的起點是什麼，每個輪換的起點可以是任意的，而起點一旦確定輪換中的排列方式也隨之確定。對於不相交的輪換，我們也不在意不同輪換的先後順序，因爲各個輪換是獨立的。在忽略了起點與輪換的順序後，顯然輪換的分解方式是唯一的。
在輪換的分解中，我們總可以忽略大小爲1的輪換。進而，如果一個permutation \(\pi\)分解後只留下<u\rang一個</u\rang大小爲\(r\)的輪換\(\sigma\)（忽略了所有大小爲1的以後），那麼\(\sigma\)與自身複合\(r\)次就相當於恆等映射（什麼都不做），因爲這相當於沿着cycle轉了一整圈回到了初始的地方。並且這是能夠使得映射回到自身的所需要的最小的複合次數。仿照循環羣中的記號，我們稱permutation \(\pi\)的階(order)（或輪換\(\sigma\)的階）爲\(r\)，記爲\(|\pi|=|\sigma|=r\)，因爲\(\sigma^r=\pi^r=I\)。更一般的，如果一個permutation \(\pi\)被分解爲了\(t\)個<u\rang不相交</u\rang的輪換\(\sigma_1\cdots \sigma_t\)，那麼總是成立\(|\pi|=\text{lcm}(|\sigma_1|,\cdots,|\sigma_t|)\)，因爲只有到輪轉的次數到達所有輪換的最小公倍數時排列纔會第一次回到自身。
我們可以這樣來更廣義地理解輪換的分解：每一個輪換就好像作用在permutation上的一個變換（映射），因此我們規定總是從右到左依次作用輪換的變換（順着輪換走一步），就好像映射的複合一樣。容易發現，在輪換不相交時我們用這樣的方式來理解permutation總是正確的。我們從右到左依次順着每個輪換走一步，從效果上就相當於完成了一次permutation。這種複合的效果對於多個permutation的複合也是滿足的，當兩個permutation複合時，我們先做一遍右邊的permutation，再做一遍左邊的permutation。進一步，如果兩個permutation都分別寫成不相交的輪換分解的乘積的形式，我們只需要從右到左依次做所有的輪換即可。
在這樣的定義下，我們可以允許輪換之間有元素相交了。我們發現，任何一個輪換總可以拆解成一系列對換的複合：\((i_1 \ i_2 \ \cdots \ i_n)=(i_1 \ i_2) \cdots (i_{n-1} \ i_n)\)。因爲左邊描述了\(i_2\)落在原本\(i_1\)的位置上，\(i_3\)落在原本\(i_2\)的位置上，...，\(i_n\)落在原本\(i_{n-1}\)的位置上，\(i_1\)落在原本\(i_n\)的位置上這一過程。在右邊的過程中，最先發生的是\((i_{n-1},i_n)\)，此後再也沒有人與\(i_n\)對換，因此最終\(i_n\)一定落在原本\(i_{n-1}\)的位置上不動；接着，\(i_{n-1}\)會落在原本\(i_{n-2}\)的位置上，此後也再也不發生變化…以此類推，\(i_n,\cdots,i_2\)都將落在正確的位置上，最後的一個位置留給\(i_1\)，這隻能是正確的位置。對於恆等映射，它也可以寫成一些無意義的對換\((1 \ 2)(1 \ 2)\)等等。由此可以看到，任何一個permutation都可以寫成一系列輪換的複合。
我們總是可以給出以下等價的輪換分解：\((k \ a \ \cdots \ b \ l \ c \ \cdots \ d)=(k \ l)(k \ a \ \cdots \ b)(l \ c \ \cdots \ d)\)（不同的字母代表不同的元素）。因爲根據我們的輪換複合規則，首先在\((l \ c \ \cdots \ d)\)與\((k \ a \ \cdots \ b)\)中獨立地進行一步輪轉，而後對換此時位於各自末尾的\(k,l\)，恰好等價於依照\((k \ a \ \cdots \ b \ l \ c \ \cdots \ d)\)進行了一步輪轉。反之，\((k \ l)(k \ a \ \cdots \ b \ l \ c \ \cdots \ d)=(k \ a \ \cdots \ b)(l \ c \ \cdots \ d)\)，因爲對前後兩部分分別做一步輪轉相當於整體做一步輪轉再對換各自的開頭。
根據允許相交的輪換分解的規則，我們總可以把一個大的輪換拆分成小的輪換，直到所有輪換的大小都是2。而在上一段討論的兩條拆分規則中，第一條使得總的輪換個數增加了2，第二條沒有改變總的輪換個數。換言之，只要我們只運用以上兩條規則來拆分輪換（並且我們總是可以進行到最後全都只剩下對換這一步），那麼<u\rang輪換個數的奇偶性一定不變</u\rang。從這裏我們已經可以直觀地期待，既然任何一個permutation都可以寫成一系列對換的複合，那麼<u\rang對換個數的奇偶性總是唯一的</u\rang。由於從拆分的角度我們並不能直觀保證能拆分出所有可能的對換，我們從複合的角度嚴格地證明這一事實：設一個\(n\)階permutation \(\sigma\)有<u\rang不相交</u\rang的輪換分解\(\sigma=\tau_1\tau_2\cdots\tau_s\)（<u\rang包含大小爲1的輪換</u\rang），由於這樣的分解是唯一的，我們可以定義函數\(f(\sigma)=(-1)^{n-s}\)，它是一個奇偶計數器，表示一個permutation在經過不相交的輪換分解後輪換個數的奇偶性（注意，函數的是從permutation出發的映射，而不是某個輪換分解出發的映射。\(f\)是permutation本身的性質）。下面我們證明\(f((a \ b)\sigma)=(-1)f(\sigma)\)。由於\(\tau_1,\cdots,\tau_s\)中已經包含了\([n]\)中所有元素，因此只需分兩類討論：\(a,b\)在同一個\(\tau\)中，或分散在兩個\(\tau\)中。對於前者，不妨設\(a,b\in \tau_1\)（因爲\(\tau\)中的分解不相交因此可以交換順序），此時可以記\(\tau_1=(a \ c_1 \ \cdots c_k \ b \ d_1 \cdots d_h),k,h\geq 0\)，那麼有等價分解\(\tau_1=(a \ b)(a \ c_1 \ \cdots \ c_k)(b \ d_1 \ \cdots \ d_h)\)。於是在\((a \ b)\sigma\)中，\((a,b)\)經過兩次複合約去，餘下的輪換互不相交，而相比原來恰好多出了一個輪換，因此要乘上因子\(-1\)；若\(a,b\)分散在兩個輪換中，我們類似地套用第二條分解規則，記\(\tau_1=(a \ c_1 \ \cdots \ c_k)\)，\(\tau_2=(b \ d_1 \ \cdots \ d_h)\)，於是\((a \ b)\tau_1\tau_2=(a \ c_1 \ \cdots c_k \ b \ d_1 \cdots d_h)\)，餘下的依然是互不相交的完整輪換，相比原來少了一個，因此也要乘上因子\(-1\)。現在我們證明了，在複合一個對換後，permutation在唯一分解後輪換個數的奇偶性總會變化。因此假若一個permutation被以任何方式分解爲（從恆等映射出發的）一系列對換的複合，其\(f\)的值一定只取決於對換的個數。而\(f\)的值又是唯一被permutation本身決定的，因此我們證明了任何方式用對換複合而成的permutation中，對換個數的奇偶性一定是唯一確定的。這是permutation本身的性質！我們把對換個數爲偶數的permutation稱爲偶置換，把對換個數爲奇數的permutation稱爲奇置換。
對於一個偶置換，它在不相交的輪換分解中必定只有偶數個偶輪換。假如它有奇數個偶輪換，那麼由於每個偶輪換都能運用\((i_1 \ i_2 \ \cdots \ i_n)=(i_1 \ i_2) \cdots (i_{n-1} \ i_n)\)這種分解方式分解成奇數個對換，而每個奇輪換都會被分解成偶數個對換，最終對換的個數將會是奇數；同理，奇置換的不相交輪換分解中只能由奇數個偶輪換。反過來，如果一個置換有偶數個偶輪換，運用\((i_1 \ i_2 \ \cdots \ i_n)=(i_1 \ i_2) \cdots (i_{n-1} \ i_n)\)這種分解方式所有偶輪換都能被寫成奇數個對換，所有奇置換都能被寫成偶數個對換，而對換個數的奇偶性永遠是唯一的，因此它是一個偶置換；同理，奇數個偶輪換的置換一定是奇置換。所以我們證明了，偶置換等價於不相交輪換分解中（包括大小爲1的輪換）有偶數個偶輪換，奇置換等價於不相交輪換分解中有奇數個偶輪換。
容易驗證，兩個奇偶性相同的置換複合得到偶置換，而奇偶性不同的兩個置換複合得到奇置換。因爲把二者各自的對換分解從右到左合併到一起我們就得到了一個複合後的置換的對換分解，因此置換的奇偶就轉化爲了對換的奇偶，滿足奇偶運算的規律。
對於\(n\)階對稱羣\(S_n\)，其中所有的偶置換構成子羣（一個置換羣！）\(A_n\)，羣的運算是映射的複合。\(A_n\)稱爲交錯羣(Alternating Group)。因爲偶置換與偶置換的複合依然是偶置換，滿足封閉性；結合律與單位元顯然；偶置換的逆變換依然是偶置換，只需把輪換反向進行，並不改變對換的奇偶性。我們進一步發現，\(|A_n|=\dfrac{n!}{2}\)，也即偶置換與奇置換的數量總是相同的：我們取唯一輪換分解中只包含一個對換的permutation，不妨取\((1,2)\in S_n\)。我們知道羣中特定元素做左乘構成一個雙射，因此\(f:\sigma\to (1,2)\circ \sigma\)構成了一個\(S_n\)到\(S_n\)的雙射。而根據奇偶置換的唯一性，這樣的映射一定把每個偶置換映射爲了奇置換，而把每個奇置換映射爲了偶置換。所以奇偶置換勢必有着相同的數量。