【AGC003F】Fraction of Fractal【矩陣快速冪優化dp】

首先，如果所有黑色格子都不與邊界相鄰，設有t$t$ 個黑色格子，答案爲tk$t^k$ 。
其次，如果兩幅最開始的圖任意拼再一起都聯通，答案顯然爲1$1$ 。
最後我們就剩下左右拼起來聯通和上下拼起來聯通兩種情況。這兩種類似，而且都比較好計算。
這裏只講左右拼起來聯通的情況。
我們設f[i]$f[i]$ 爲i$i$ 階分形中聯通塊的數量，g[i]$g[i]$ 爲i$i$ 階分形中有多少個聯通塊滿足，這種分形複製一份左右拼起來會和一個聯通塊連在一起。則顯然滿足f[i]=f[i−1]∗t−g[i−1]∗x$f[i]=f[i-1]\ast t-g[i-1]\ast x$ ，t$t$ 表示原圖黑色格子的數量，x$x$ 表示原圖有多少對左右相鄰的黑色。g[i]=f[i−1]∗c$g[i]=f[i-1]\ast c$ ，c$c$ 是原圖中第一列和最後一列拼起來會有多少個黑色格子連在一起。然後再矩陣快速冪優化dp一下就好了。

#include<bits/stdc++.h>
#pragma GCC optimize(3)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1005,mod=1000000007;
int n,m,t,k1,k2,c1,c2;
ll k;
char s[N][N];
bool flag1,flag2;
struct matrix{
    int a[4][4];
    matrix(){
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
    matrix operator * (const matrix &b){
        matrix c;
        for(int i=0;i<4;i++){
            for(int j=0;j<4;j++){
                if(a[i][j]){
                    for(int k=0;k<4;k++){
                        c.a[i][k]=(c.a[i][k]+1LL*a[i][j]*b.a[j][k]%mod)%mod;
                    }
                }
            }
        }
        return c;
    }
}a,b;
int fastpow(int a,ll x){
    int res=1;
    while(x){
        if(x&1){
            res=1LL*res*a%mod;
        }
        x>>=1;
        a=1LL*a*a%mod;
    }
    return res;
}
matrix fastpow(matrix a,ll x){
    matrix res=a;
    x--;
    while(x){
        if(x&1){
            res=res*a;
        }
        x>>=1;
        a=a*a;
    }
    return res;
}
int main(){
    scanf("%d%d%lld",&n,&m,&k);
    if(k==1){
        puts("1");
        return 0;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%s",s[i]+1);
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(s[i][j]=='#'){
                t++;
                if(s[i][j-1]=='#'){
                    k1++;
                }
                if(s[i-1][j]=='#'){
                    k2++;
                }
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(s[i][1]=='#'&&s[i][m]=='#'){
            c1++;
            flag1=true;
        }
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        if(s[1][i]=='#'&&s[n][i]=='#'){
            c2++;
            flag2=true;
        }
    }
    if(!flag1&&!flag2){
        printf("%d\n",fastpow(t,k-1));
    }else if(flag1&&flag2){
        puts("1");
    }else if(flag1&&!flag2){
        a.a[0][0]=1;
        a.a[0][1]=1;
        b.a[0][0]=t;
        b.a[1][0]=mod-k1;
        b.a[1][1]=c1;
        a=a*fastpow(b,k-1);
        printf("%d\n",a.a[0][0]);
    }else{
        a.a[0][0]=1;
        a.a[0][1]=1;
        b.a[0][0]=t;
        b.a[1][0]=mod-k2;
        b.a[1][1]=c2;
        a=a*fastpow(b,k-1);
        printf("%d\n",a.a[0][0]);
    }
    return 0;
}