【ARC082E】Convex Score【枚舉】

考慮一個有n$n$ 個頂點凸多邊形，多邊形內（包括頂點）有k$k$ 個點，則會造成2k−n$2^{k-n}$ 的貢獻。我們可以轉化一下，k−n$k-n$ 其實就是凸多邊形內部的點的數量，2k−n$2^{k-n}$ 就是這些點每個都可以取或者不取的方案數。所以我們就可以把問題轉化一下：有多少種選點的方案，使得這些點圍起來是一個凸多邊形。
考慮怎樣的情況，這些點圍起來不是一個凸多邊形，那一定是出現了三點共線。所以我們可以容斥。用所有方案減去出現三點共線的方案數。
設有n$n$ 個點。則所有方案爲2n−n∗(n+1)2−n−1$2^n-\frac{n\ast (n+1)}{2}-n-1$ 。因爲0$0$ 個點，1$1$ 個點，2$2$ 個點都不可能出現凸多邊形。
接下來我們可以枚舉某一條邊，再求出有多少個點在這條邊上。設答案爲n$n$ ，則中間的點可以隨便選，但要去掉一個點都不選的方案。所以減去的貢獻爲2n−1$2^n-1$ 。
怎麼判斷三點是否共線？斜率判一判就好。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define mod 998244353
using namespace std;
const int N=205;
int n,ans,fastpow[N],x[N],y[N];
inline int rd(){
    register char ch=getchar();
    register int res=0;
    while(ch<'0'||ch>'9'){
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9'){
        res=res*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return res;
}
int main(){
    n=rd();
    fastpow[0]=1;
    for(register int i=1;i<=n;++i){
        x[i]=rd(),y[i]=rd();
        fastpow[i]=fastpow[i-1]*2%mod;
    }
    ans=(fastpow[n]-n-n*(n-1)/2-1)%mod;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        for(register int j=i+1;j<=n;++j){
            int tot=0;
            for(register int k=1;k<i;++k){
                if((x[i]-x[j])*(y[j]-y[k])==(y[i]-y[j])*(x[j]-x[k])){
                    tot++;
                }
            }
            ans=(ans-fastpow[tot]+1)%mod;
        }
    }
    printf("%d\n",(ans+mod)%mod);
    return 0;
}