最小生成樹與最短路徑的區別以及實現方法
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2011年11月18日 20:55:15
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一 區別
最小生成樹能夠保證整個拓撲圖的所有路徑之和最小，但不能保證任意兩點之間是最短路徑。
最短路徑是從一點出發，到達目的地的路徑最小。
二 實現方法
1. 最小生成樹
最小生成樹有兩種算法來得到：Prims算法和Kruskal算法。
Kruskal算法：根據邊的加權值以遞增的方式，一次找出加權值最低的邊來構建最小生成樹，而且規定：每次添加的邊不能造成生成樹有迴路，知道找到N-1個邊爲止。
Prims算法：以每次加入一個的臨界邊來建立最小生成樹，直到找到N-1個邊爲止。其規則爲：以開始時生成樹的集合（集合U）爲起始的定點，然後找出與生成樹集合鄰接的邊（集合V）中，加權值最小的邊來建立生成樹，爲了確定新加入的邊不會造成迴路，所以每一個新加入的邊，只允許有一個頂點在生成樹集合中，重複執行此步驟，直到找到N-1個邊爲止。
2 最短路徑
算法描述
(這裏描述的是從節點1開始到各點的dijkstra算法，其中Wa->b表示a->b的邊的權值，d(i)即爲最短路徑值) 1． 置集合S={2,3,...n}, 數組d(1)=0, d(i)=W1->i(1,i之間存在邊) or +無窮大(1.i之間不存在邊) 2． 在S中，令d(j)=min{d(i),i屬於S}，令S=S-{j}，若S爲空集則算法結束，否則轉3 3． 對全部i屬於S,如果存在邊j->i，那麼置d(i)=min{d(i), d(j)+Wj->i}，轉2 Dijkstra算法思想爲：設G=(V,E)是一個帶權有向圖，把圖中頂點集合V分成兩組，第一組爲已求出最短路徑的頂點集合（用S表示，初始時S中只有一個源點，以後每求得一條最短路徑 , 就將 加入到集合S中，直到全部頂點都加入到S中，算法就結束了），第二組爲其餘未確定最短路徑的頂點集合（用U表示），按最短路徑長度的遞增次序依次把第二組的頂點加入S中。在加入的過程中，總保持從源點v到S中各頂點的最短路徑長度不大於從源點v到U中任何頂點的最短路徑長度。此外，每個頂點對應一個距離，S中的頂點的距離就是從v到此頂點的最短路徑長度，U中的頂點的距離，是從v到此頂點只包括S中的頂點爲中間頂點的當前最短路徑長度。 算法具體步驟 （1）初始時，S只包含源點，即S=，v的距離爲0。U包含除v外的其他頂點，U中頂點u距離爲邊上的權（若v與u有邊）或 ∞(若u不是v的出邊鄰接點）。 （2）從U中選取一個距離v最小的頂點k，把k，加入S中（該選定的距離就是v到k的最短路徑長度）。 （3）以k爲新考慮的中間點，修改U中各頂點的距離；若從源點v到頂點u（u U）的距離（經過頂點k）比原來距離（不經過頂點k）短，則修改頂點u的距離值，修改後的距離值爲頂點k的距離加上邊上的權。 （4）重複步驟（2）和（3）直到所有頂點都包含在S中。
複雜度分析
Dijkstra 算法的時間複雜度爲O(n^2) 空間複雜度取決於存儲方式，鄰接矩陣爲O(n^2)