【數位DP】JZOJ 5831. 【NOIP提高A組模擬2018.8.18】 number

JZOJ 5831. 【NOIP提高A組模擬2018.8.18】 number

題目

Description

給定正整數 n,m，問有多少個正整數滿足：
1、不含前導 0；
2、是 m 的倍數；
3、可以通過重排列各個數位得到 n。

Input

一行兩個整數 n，m。

Sample Input

1 1

Output

一行一個整數表示答案對 998244353 取模的結果。

Sample Output

1

Data Constraint

對於 20%的數據，n<10^10。
對於 50%的數據，n<10^16，m<=20。
對於 100%的數據，n<10^20，m<=100。

題解

看看題目，第3個條件很好地說明了這道題目的算法—數位DP。
既然如此，我們想想如何設做，狀態怎麼設，需要維護哪些條件。不妨對每個條件來做出一定處理。
條件1：DP第1位時從1至9，而其他的是從0至9即可；
條件2：設一維狀態表示對於m取餘的結果；
條件3：將每個數選擇的個數的狀態壓縮成一個數來維護。
於是，我們設f[i][s][j]$f[i][s][j]$ 表示第i$i$ 位，選數的狀態爲s$s$ ，對於m取餘的結果爲j$j$ 的方案數。
狀態轉移方程如下：
f[i+1][s′][[(j∗10+k)modm]=(f[i+1][s′][(j∗10+k)modm]+f[i][s][j])$f[i+1][s^{\prime }][[(j\ast 10+k)\mathrm{mod}m]=(f[i+1][s^{\prime }][(j\ast 10+k)\mathrm{mod}m]+f[i][s][j])$
其中，k$k$ 爲每次枚舉當前加入的數字，s′$s^{\prime }$ 爲在s$s$ 的基礎上添加k$k$ 壓縮後在狀態，注意時刻要保證當前k$k$ 的個數不能大於n$n$ 中k$k$ 的個數。
最後的答案則爲f[len][S][0]$f[len][S][0]$ ，其中len$len$ 爲n$n$ 的數字位數，S$S$ 爲n$n$ 中數字出現的狀態。
因爲時間過大，維護q[i][s]=0/1$q[i][s]=0/1$ 表示f[i][s][0 m−1]$f[i][s][0m-1]$ 中是否至少有一位有值，因爲我們記錄的是方案數，所以如果都是0$0$ 時就可以跳過了。每次更新f[i+1][s′][[(j∗10+k)modm]$f[i+1][s^{\prime }][[(j\ast 10+k)\mathrm{mod}m]$ 時把q[i+1][s′]=1$q[i+1][s^{\prime }]=1$ 即可。
同時，由於空間過大，要使用滾動DP。

代碼

#include<cstdio> 
#include<cstring>
using namespace std;
int a[15],b[15],g[15],p[60010][110],q[21][60010];
long long f[2][60010][110];
char z[21];
int main()
{
    int m,i,j,k,l,s;
    scanf("%s",z+1);
    scanf("%d",&m);
    int n=strlen(z+1);
    for(i=1;i<=n;i++) a[z[i]-'0']++;
    g[10]=1;
    for(i=9;i>=0;i--) g[i]=g[i+1]*(a[i]+1);
    memset(f,0,sizeof(f));
    for(i=1;i<=9;i++) if(a[i]) f[1][g[i+1]][i%m]=1,q[1][g[i+1]]=1;
    for(i=1;i<n;i++)
    {
        for(j=0;j<g[0];j++) if(q[i][j])
        {
            int t=j;
            for(k=0;k<=9;k++)
            {
                b[k]=t/g[k+1];
                t%=g[k+1];
            }
            for(k=0;k<=9;k++)
            {
                if(b[k]==a[k]) continue;
                b[k]++;s=0;
                for(l=0;l<=9;l++) s+=b[l]*g[l+1];
                for(l=0;l<m;l++) if(f[i%2][j][l])
                {
                    if(p[s][(l*10+k)%m]!=i+1) 
                    {
                        p[s][(l*10+k)%m]=i+1;
                        f[1-i%2][s][(l*10+k)%m]=f[i%2][j][l];
                        q[i+1][s]=1;
                    }
                    else f[1-i%2][s][(l*10+k)%m]+=f[i%2][j][l];
                    f[1-i%2][s][(l*10+k)%m]%=998244353;
                }
                b[k]--;
            }
        }
    }
    printf("%lld",f[n%2][g[0]-1][0]);
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}