圖的概念
圖是算法中是樹的拓展，樹是從上向下的數據結構，結點都有一個父結點（根結點除外），從上向下排列。而圖沒有了父子結點的概念，圖中的結點都是平等關係，結果更加複雜。
圖的分類
圖可以分爲無向圖(簡單連接)，有向圖(連接有方向)，加權圖(連接帶權值)，加權有向圖(連接既有方向又有權值)。
這篇討論無向圖。
無向圖的表示方法：
1.鄰接矩陣
2.邊的數組
3.鄰接表數組
1.鄰接矩陣
我們可以使用一個V*V的布爾矩陣graph來表示圖。當頂點v和頂點w之間有邊相連時，則graph[v][w]和graph[w][v]爲true，否則爲false。
但是這種方法需要佔用的空間比較大，因爲稀疏圖更常見，這就導致了很多空間的浪費。V*V的矩陣很多時候我們是不能接受的。
2.邊的數組
我們可以使用一個數組來存放所有的邊，這樣的話數組的大小僅有E。但是因爲我們的操作總是需要訪問某個頂點的相鄰節點，對於這種數據類型，要訪問相鄰節點的話必須遍歷整個數組，造成效率的低下，所以我們在這裏也不使用這個數據結構。
3.鄰接表數組
我們使用一個鏈表數組來表示，數組中每個元素都是鏈表表頭，鏈表中存放對應下標的節點所連接的邊。
這種數據結構使用的空間爲V+E。並且可以相當方便的獲取相鄰節點。
如圖：
實現如下：
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
public class Graph {
private List<Integer>[] adj; // 鄰接表
private int V; // 頂點數目
private int E; // 邊的數目
public Graph(int V) {
this.V = V;
adj = (List<Integer>[])new List[V];
E = 0;
for (int i = 0; i < V; i++) {
adj[i] = new ArrayList<Integer>();
}
}
public void addEdge(int v, int w) {
adj[v].add(adj[v].size(), w);
adj[w].add(adj[w].size(), v);
E++;
}
public List<Integer> adj(int v) {
return adj[v];
}
public int V() {
return V;
}
public int E() {
return E;
}
public String toString() {
String s = V + " 個頂點, " + E + " 條邊\n";
for (int i = 0; i < V; i++) {
s += i + ": ";
for (Integer node : adj(i)) {
s += node + " ";
}
s += "\n";
}
return s;
}
}
到此爲止，我們已經完成了圖的表示。
有了表示，我們就需要使用圖完成一些簡單的應用。
例如，圖的搜索，圖的連通分量，圖是否有環等等。
首先我們來實現圖的搜索。
我們在這裏實現一個模板。並不實際進行搜索。
目標：給定一個起點，在圖中進行搜索。
方案：1.深度優先搜索 2.廣度優先搜索。
深搜
原理：這裏打個比喻，搜索圖中所有的節點，就像走迷宮一樣，需要探索迷宮中所有的通道。探索迷宮所有的通道，我們需要什麼呢？
1.我們需要選擇一條沒有標記的路，並且一邊走一遍鋪上一條繩子。
2.標記走過的路。
3.當走到一個標記的地方時，我們需要回退，根據繩子回退到上一個地方。
4.當回退的地方沒有可以走的路了，就要繼續回退。
也就是說，首先我們需要一直走下去，但是我們一邊走就要一邊做標記，如果走不下去了，就回退，回退到沒有被標記的的路。循環往復，我們就能探索整個圖了。
實現：
import java.util.Stack;
public class DepthFirstSearch {
private boolean[] isMarked;
private int begin;
private int count;
private Integer[] edgeTo;
public DepthFirstSearch(Graph g, int begin) {
isMarked = new boolean[g.V()];
edgeTo = new Integer[g.V()];
count = 0;
this.begin = begin;
dfs(g, begin);
}
public void dfs(Graph g, int begin) {
isMarked[begin] = true;
for (Integer i : g.adj(begin)) {
if (!isMarked[i]) {
edgeTo[i] = begin;
count++;
dfs(g, i);
}
}
}
public boolean hasPath(int v) {
return isMarked[v];
}
public int count() {
return count;
}
public String pathTo(int v) {
if (!hasPath(v)) return "";
Stack<Integer> stack = new Stack<>();
stack.push(v);
for (int i = v; i != begin; i = edgeTo[i]) {
stack.push(edgeTo[i]);
}
return stack.toString();
}
}
並且我們有一個數組去保存是從哪個節點到達當前節點。這樣，我們往回追朔的時候，就可以找到一條路徑了。
這是一個模板，並沒有具體的搜索某個節點，而是將所有節點都搜索了一遍，在實際過程中，我們可以判斷節點是否找到，找到就停止了。
對於無向圖來說，深搜雖然可以找到一條從v到w的路徑，但是這條路徑是否是最優的並不是可靠的，往往都不是。
如果我們希望找到一條最短的路徑，我們就應該使用廣搜。
廣搜
原理：
廣搜並不是先一條路走到黑，而是慢慢的根據距離進行搜索。例如，一開始先根據距離是1進行搜索，先搜索所有距離爲1的地方。如果沒找到，再搜索距離爲2的地方。以此類推。
如果說深搜是一個人在迷宮中搜索，那麼廣搜就是一組人在朝着各個方向進行搜索。當然不是效率比較高的意思，只是比喻而已。
實現：
import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;
import java.util.Stack;
public class BreadthFirstSearch {
private boolean[] isMarked;
private Integer[] edgeTo;
private int begin;
private int count; // 多少個點連通
public BreadthFirstSearch(Graph g, int begin) {
isMarked = new boolean[g.V()];
edgeTo = new Integer[g.V()];
this.begin = begin;
count = 0;
bfs(g, begin);
}
private void bfs(Graph g, int begin) {
Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();
isMarked[begin] = true;
queue.offer(begin);
while (!queue.isEmpty()) {
Integer temp = queue.poll();
for (Integer i : g.adj(temp)) {
if (!isMarked[i]) {
isMarked[i] = true;
count++;
edgeTo[i] = temp;
queue.offer(i);
}
}
}
}
public boolean hasPath(int v) {
return isMarked[v];
}
public int count() {
return count;
}
public String pathTo(int v) {
if (!hasPath(v)) return "";
Stack<Integer> stack = new Stack<>();
stack.push(v);
for (int i = v; i != begin; i = edgeTo[i]) {
stack.push(edgeTo[i]);
}
return stack.toString();
}
}
其實廣搜和深搜的不同就在於搜索規則的不同，深搜使用的是stack的LIFO(後進先出)的思想，總是搜索最新的節點。而廣搜則是使用queue的FIFO(先進先出)的規則。
就如同上面的一樣，節點進入隊列的順序是根據距離的，所以我們就可以實現慢慢範圍的擴大搜索。
同樣的，我們也標記了進入節點的前一個節點，用來追蹤路徑。因爲我們是根據範圍搜索的，所以得到的就是最短路徑。
我們可以使用廣搜和深搜來實現很多應用，例如是否有環，是否是二部圖等等。這裏我們就不展開了。
我們上面的圖的節點都是以數字作爲標記的，而對於實際應用來講，圖的節點一般都不會是數字，而是String類型的字符串等。
要實現這種符號圖，我們只需要將我們的代碼進行一些擴展，使用符號表的方法，將字符串映射到某個整數上就可以了。
例如：
我們只需要在將字符串映射得到一個數字，也就是使用散列表的方式，存儲成鍵值對，就可以繼續使用上面的代碼了。