有向圖歐拉回路條數-BEST定理

教學香腸系列……

給定一張所有點入度=出度的有向圖，求歐拉回路條數。
n≤500

爲了避免出現重複，對於這個無向圖，我們先確定一條1 號節點出發的起始邊。

找一個以1 號點爲根的內向樹（即每個點有唯一的一條路徑到達1 號點），對於一個點的所有不在樹上、非起始邊的出邊，指定一個順序。

容易證明，這樣做的一個方案唯一對應一條歐拉回路。

證明：
=>：構造法，從1號節點出發，先走起始邊，每到一個點，優先走非樹邊，再走樹邊。對於非樹邊，按照指定的順序走，即，如果第一條邊沒走過，走第一條，否則走第二條，…，若所有非樹邊都走過，則走樹邊。由於所有點入度=出度，所以不會有無邊可走的情況，直到回到1 號節點且無邊可走爲止。
顯然每條邊至多走一次，如何證明每條邊至少走了一次？
性質1：如果一個點有未走過的出邊，則這個點出發的樹邊一定未走過，因爲樹邊是最後走的
性質2：如果一個節點出發的樹邊未走過，則它父親節點出發的樹邊一定也未走過，因爲每個節點入度=出度
然後就好辦了，反證法，假設存在一條邊沒走過，那麼這條邊的樹邊一定也沒走過，進而這條邊父親的樹邊也沒走過……以此類推，1 號節點有至少一條入邊沒有走過，那麼由於入度=出度，1 號節點也有至少一條出邊未走過，這與終止條件矛盾，證畢。

<=：反向就很簡單了，對於歐拉回路我們從1 號節點出發先走起始邊，然後對於每個點的所有出邊，最後一條是樹邊，其餘按照遍歷順序確定順序即可得到一個上述方案。（1 號節點不選樹邊，起始邊確定，將其餘出邊確定順序就行了）
只需證明我們選定的這些樹邊不會成環即可。
由於1 號節點不選擇樹邊，因此環上一定不存在1 號節點。
假如這些邊存在環，那麼從環上一個點出發，最後一次離開這個點走的是樹邊，那麼沿着樹邊走下去，最後仍然會回到這個點，而這個點的最後一條出邊已走過，因此歐拉回路終止於此節點。而此節點不是1 號節點，矛盾。

這樣我們就將有向圖歐拉回路一一對應了上述方案，那麼方案數是多少？

對於每個生成的內向樹，1 號節點起始邊固定，其餘邊指定順序，方案數爲(d1−1)! ；其餘節點有一條樹邊，其餘邊指定順序，方案數爲(di−1)! ，總方案數爲∏i=1n(di−1)! 。這裏di 表示點i 的出度。

那麼以1 爲根的內向樹有多少個呢？矩陣樹定理，O(n3) 求出。

最終答案爲T1(G)∗∏i=1n(di−1)!
其中T1(G)= (出度矩陣-鄰接矩陣)$去掉第一行第一列後行列式的值。

順帶一提，由於有向圖的歐拉路徑條數恆定不隨根節點改變而改變，所以T1(G) 還可以換成T2(G),T3(G),... 。這樣我們就證明了對於歐拉圖來說，T1(G)=T2(G)=...=Tn(G) 。我還沒想好怎麼用其他方法證明這個結論……

代碼自然是沒有的啦。。你可曾見過老年選手打代碼？