一、二分查找
1、查找無序數組中的任意一個局部最小值
局部最小值：arr長度爲1時，arr[0]是局部最小。arr的長度爲N(N>1)時，如果arr[0]<arr[1]，那麼arr[0]是局部最小；如果arr[N-1]<arr[N-2]，那麼arr[N-1]是局部最小；如果0<i<N-1，既有arr[i]<arr[i-1]又有arr[i]<arr[i+1]，那麼arr[i]是局部最小。
解法：二分查找。先查看左右兩邊是不是局部最小。都不是則局部最小一定在中間，於是查看mid處是不是，若不是則局部最小要麼在其左邊要麼在其右邊，判斷出在左邊還是在右邊，繼續二分查找即可。
class Solution
{public: intgetLessIndex(vector<int>
arr) { intlength
= arr.size(); if(length
== 0) return-1; if(length
== 1) return0; if(arr[0]
< arr[1]) return0; if(arr[length-1]
< arr[length-2]) returnlength-1; intstart
= 0,end
= length-1; intmid
= (start+end)/2; while(1)
{ if(arr[mid]
< arr[mid+1]
&& arr[mid] < arr[mid-1]) returnmid; elseif(arr[mid]
> arr[mid-1])
{ end
= mid; mid
= (start+end)/2; } else{ start
= mid; mid
= (start+end)/2; } } }};2、對於一個有序數組arr，再給定一個整數num，請在arr中找到num這個數出現的最左邊的位置
解法：二分查找。要注意當arr[mid]大於或等於num時都要轉向左半部查找。查找停止條件很重要。
classLeftMostAppearance
{public: intfindPos(vector<int>
arr, intn, intnum)
{ intres
= -1; intstart
= 0,end
= n-1; intmid
= (start+end)/2; while(start
<= end) { if(arr[mid]
< num) { start
= mid+1; } elseif(arr[mid]
== num) { res
= mid; end
= mid-1; } else{ end
= mid-1; } mid
= (start+end)/2; } returnres; }};有序循環數組：1,2,3,4,5 2,3,4,5,1 3,4,5,1,2 4,5,1,2,3 5,1,2,3,4
解法：①判斷最左和最右的關係。確定數組是有序的還是循環過的。
②判斷最左和中間的關係。確定最小值位於左半部還是右半部。
③最左大於中間，在左半部，end = mid；最左小於或等於中間，在右半部，但是start的更新不同，小於時 start=mid，等於時start=mid+1.
int getMin(vector<int> arr, int n) {
if (n == 0) {
return -1;
}
int start = 0,end = n-1;
int mid = start + (end-start)/2;
if (arr[start] < arr[end]) {
return arr[start];
}
else if (arr[start] > arr[end]) {
while (start != end) {
if (arr[start] > arr[mid]) {
end = mid;
}
else if(arr[start] < arr[mid]){
start = mid;
}
else {
start = mid+1;
}
mid = start + (end-start)/2;
}
return arr[start];
}
else {
int min = arr[start];
for (int i = 0;i < n;i++) {
if (arr[i] < min)
min = arr[i];
}
return min;
}
}
};
解法：直接判斷mid是否滿足，arr[mid] >= mid都說明只有左半部有可能出現滿足條件的元素，arr[mid] < mid說明只有右半部有可能。
5、統計完全二叉樹的結點總數
classFind
{public: intfindPos(vector<int>
arr, intn)
{ intres
= -1; if(n
== 0) returnres; intstart
= 0,end
= n-1; intmid
= -1; if(arr[start]
== start) returnstart; while(start
<= end) { mid = start + (end-start)/2
if(arr[mid]
== mid) { res
= mid; end
= mid-1; } elseif(arr[mid]
> mid) end
= mid-1; else start
= mid + 1; } returnres; }};要求：時間複雜度低於O(N)。
解法：二分查找。
①先遍歷到二叉樹左子樹最左邊的結點和右子樹最左邊的結點，統計左右子樹的深度。
②若左右子樹深度相同，說明左子樹是滿二叉樹，若左子樹深度大於右子樹深度，說明右子樹是滿二叉樹。
③遞歸地進行上述過程。
classCountNodes
{public: intcount(TreeNode*
root) { if(!root) return0; intleftDepth
= 0,rightDepth
= 0; TreeNode
*leftL = root,*rightL = root; while(leftL
|| rightL) { if(leftL)
{ leftDepth++; leftL
= leftL->left; } if(rightL)
{ rightDepth++; if(rightL
== root) rightL
= rightL->right; else rightL
= rightL->left; } } if(leftDepth
== rightDepth) { returncount(root->right)
+ pow(2,leftDepth-1); } else returncount(root->left)
+ pow(2,rightDepth-1); }};6、快速冪算法
要求：求整數k的N次方的過程請實現時間複雜度爲O(logN)的方法。
解法：N的二進制表示完美地劃分了求冪的過程，二進制有多少位基數base就計算多少次，每一次求base都等於上一次的base的平方，將二進制中爲1的位對應的基數base乘起來就是最後的結果。
classQuickPower
{public: int getPower(int k, int N)
{ long
res=1; long base=k; while (N){ if (N&1) res=res*base%1000000007; base=base*base%1000000007; N>>=1; } return res; }};7、矩陣的快速冪
應用：計算斐波那契數列。