一、常考點
含有相同元素的全排列：例如2個a，3個b，4個c可以組成多少個不同的字符串？9!/2!/3!/4!。
n個人的全排列：排成一排爲n!，排成一圈且考慮旋轉帶來的差異也爲n!，排成一圈但不考慮旋轉差異則爲(n-1)!。
二、普通排列組合練習題
1、X*Y的方格陣中，從左上角走到右下角，每次只能走一格且只能向右走或向下走，有多少種走法
解法：向右一定走Y-1步，向下一定走X-1步，總共要走X+Y-2步，走法有C（X+Y-2，X-1）種。
當n<=10時：
組合數的計算方法一（利用遞歸公式）：
classRobot
{public:
intC(intn,intm)
{ if(m
== 1) returnn; if(m
== n || m == 0) return1; returnC(n-1,m-1)+C(n-1,m); } intcountWays(intx, inty)
{ returnC(x+y-2,x-1); }};public:
int countWays(int x, int y) {
int n1 = 1,n2 = 1;
for (int i = 1,j = x+y-2;i <= x-1;i++,j--) {
n1 *= i;
n2 *= j;
}
return n2/n1;
}
};
解法：
classStandInLine
{public: // 計算組合數 intC(intn,intm)
{ if(m
== 1) returnn; if(m
== n || m == 0) return1; returnC(n-1,m-1)+C(n-1,m); } // 計算階乘 intA(intn,intm)
{ intres
= 1; for(inti
= n;i > n-m;i--) { res
*= i; } returnres; } vector<int>
getWays(intn, inta, intb)
{ vector<int>
res; res.push_back(A(n-2,n-2)*(C(n-1,2)+C(n-1,1))); res.push_back(A(n-1,n-1)); returnres; }};4、n顆相同的糖果，分給m個人，每人至少一顆，問有多少種分法。
解法：○○|○○○○○|○○○這10顆糖中間有9個空，插兩個隔板，分成3分，有C（9，2）種分法。
classDistribution
{public: intComb(intn,intm)
{ if(n
== 0&&
m == 0) return1; if(m
== 1) returnn; if(m
== n || m == 0) return1; returnComb(n-1,m-1)+Comb(n-1,m); } intgetWays(intn, intm)
{ returnComb(n-1,m-1); }};三、複雜排列組合練習題
1、卡特蘭數
當問題可以表示成以下兩種形式時，就是卡特蘭數問題。f(n)= C(2*n,n)/(n+1)。
①f(n) = f(0)*f(n-1)+ f(1)*f(n-2)+……+ f(n-2)*f(1)+ f(n-1)*f(0)；
②f(n) = C(2*n,n)-C（2*n,n+1）。
解法：將左括號記爲1，右括號記爲-1，則n對左右括號的序列就是1、-1序列，從左到右遍歷該序列，並將遍歷元素值疊加記爲sum，假設遍歷到第j個時sum=0說明在j的左邊除了與j配對的括號對合法外，已遍歷的j/2-1對括號也是合法的括號序列，剩下的（2n-j）/2對括號也是合法的括號序列，則這種情況的組合總數爲f(j/2-1)*f(n-j/2)，依次類推可知f(n)
= f(0)*f(n-1)+ f(1)*f(n-2)+……+f(j/2-1)*f(n-j/2)+……+ f(n-2)*f(1)+ f(n-1)*f(0) = C(2*n,n)/(n+1)。
classParenthesis
{public: intComb(intn,intm)
{ if(n
== 0) return0; if(m
== 1) returnn; if(m
== n || m == 0) return1; returnComb(n-1,m-1)+Comb(n-1,m); } intcountLegalWays(intn)
{ returnComb(2*n,n)/(n+1); }};解法：假設進棧前的序列中第i個數在出棧後的序列中也在第i個位置，則說明前i-1個數完成進棧出棧操作後第i個數才進棧出棧，也就是說問題可描述爲f(n)
= f(0)*f(n-1)+ f(1)*f(n-2)+……+ f(n-2)*f(1)+ f(n-1)*f(0)。
class Stack
{public: int countWays(int n)
{ int c1
= 1,c2
= 1; for (int i
= 1;i
<= n;i++) c1
*= i; for (int j
= n+1;j
<= 2*n;j++) c2
*= j; return c2/(c1*(n+1)); }};4、以下問題均是卡特蘭數問題
①2n個人排隊買票，n個人拿5塊錢，n個人拿10塊錢，票價是5塊錢1張，每個人買一張票，售票員手裏沒有零錢，問有多少種排隊方法讓售票員可以順利賣票。
②求n個無差別的節點構成的二叉樹有多少種不同的結構？
③12個高矮不同的人，排成兩排，每排必須是從矮到高排列，而且第二排比對應的第一排的人高，問排列方式有多少種？
5、有n個信封，包含n封信，現在把信拿出來，再裝回去，要求每封信不能裝回它原來的信封，問有多少種裝法?
解法：假設第i封信裝入第1個信封，則剩下的信和信封有兩種情況：①第1封信恰好也裝入了第i個信封，問題爲f(n-2)；②第1封信沒有裝入第i個信封，問題爲f(n-1)。而i有n-1種選擇，所以原問題可以表示爲f(n)=(n-1)(f(n-1)+f(n-2))。
public:
int countWays(int n) {
if (n == 1)
return 0;
if (n == 2)
return 1;
long f1 = 0,f2 = 1;
long mod = 1000000007;
for (int i = 3;i <= n;i++) {
long temp = (i-1)*(f1+f2)%mod;
f1 = f2;
f2 = temp;
}
return (int)f2;
}
};