一、常考点
含有相同元素的全排列：例如2个a，3个b，4个c可以组成多少个不同的字符串？9!/2!/3!/4!。
n个人的全排列：排成一排为n!，排成一圈且考虑旋转带来的差异也为n!，排成一圈但不考虑旋转差异则为(n-1)!。
二、普通排列组合练习题
1、X*Y的方格阵中，从左上角走到右下角，每次只能走一格且只能向右走或向下走，有多少种走法
解法：向右一定走Y-1步，向下一定走X-1步，总共要走X+Y-2步，走法有C（X+Y-2，X-1）种。
当n<=10时：
组合数的计算方法一（利用递归公式）：
classRobot
{public:
intC(intn,intm)
{ if(m
== 1) returnn; if(m
== n || m == 0) return1; returnC(n-1,m-1)+C(n-1,m); } intcountWays(intx, inty)
{ returnC(x+y-2,x-1); }};public:
int countWays(int x, int y) {
int n1 = 1,n2 = 1;
for (int i = 1,j = x+y-2;i <= x-1;i++,j--) {
n1 *= i;
n2 *= j;
}
return n2/n1;
}
};
解法：
classStandInLine
{public: // 计算组合数 intC(intn,intm)
{ if(m
== 1) returnn; if(m
== n || m == 0) return1; returnC(n-1,m-1)+C(n-1,m); } // 计算阶乘 intA(intn,intm)
{ intres
= 1; for(inti
= n;i > n-m;i--) { res
*= i; } returnres; } vector<int>
getWays(intn, inta, intb)
{ vector<int>
res; res.push_back(A(n-2,n-2)*(C(n-1,2)+C(n-1,1))); res.push_back(A(n-1,n-1)); returnres; }};4、n颗相同的糖果，分给m个人，每人至少一颗，问有多少种分法。
解法：○○|○○○○○|○○○这10颗糖中间有9个空，插两个隔板，分成3分，有C（9，2）种分法。
classDistribution
{public: intComb(intn,intm)
{ if(n
== 0&&
m == 0) return1; if(m
== 1) returnn; if(m
== n || m == 0) return1; returnComb(n-1,m-1)+Comb(n-1,m); } intgetWays(intn, intm)
{ returnComb(n-1,m-1); }};三、复杂排列组合练习题
1、卡特兰数
当问题可以表示成以下两种形式时，就是卡特兰数问题。f(n)= C(2*n,n)/(n+1)。
①f(n) = f(0)*f(n-1)+ f(1)*f(n-2)+……+ f(n-2)*f(1)+ f(n-1)*f(0)；
②f(n) = C(2*n,n)-C（2*n,n+1）。
解法：将左括号记为1，右括号记为-1，则n对左右括号的序列就是1、-1序列，从左到右遍历该序列，并将遍历元素值叠加记为sum，假设遍历到第j个时sum=0说明在j的左边除了与j配对的括号对合法外，已遍历的j/2-1对括号也是合法的括号序列，剩下的（2n-j）/2对括号也是合法的括号序列，则这种情况的组合总数为f(j/2-1)*f(n-j/2)，依次类推可知f(n)
= f(0)*f(n-1)+ f(1)*f(n-2)+……+f(j/2-1)*f(n-j/2)+……+ f(n-2)*f(1)+ f(n-1)*f(0) = C(2*n,n)/(n+1)。
classParenthesis
{public: intComb(intn,intm)
{ if(n
== 0) return0; if(m
== 1) returnn; if(m
== n || m == 0) return1; returnComb(n-1,m-1)+Comb(n-1,m); } intcountLegalWays(intn)
{ returnComb(2*n,n)/(n+1); }};解法：假设进栈前的序列中第i个数在出栈后的序列中也在第i个位置，则说明前i-1个数完成进栈出栈操作后第i个数才进栈出栈，也就是说问题可描述为f(n)
= f(0)*f(n-1)+ f(1)*f(n-2)+……+ f(n-2)*f(1)+ f(n-1)*f(0)。
class Stack
{public: int countWays(int n)
{ int c1
= 1,c2
= 1; for (int i
= 1;i
<= n;i++) c1
*= i; for (int j
= n+1;j
<= 2*n;j++) c2
*= j; return c2/(c1*(n+1)); }};4、以下问题均是卡特兰数问题
①2n个人排队买票，n个人拿5块钱，n个人拿10块钱，票价是5块钱1张，每个人买一张票，售票员手里没有零钱，问有多少种排队方法让售票员可以顺利卖票。
②求n个无差别的节点构成的二叉树有多少种不同的结构？
③12个高矮不同的人，排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，问排列方式有多少种？
5、有n个信封，包含n封信，现在把信拿出来，再装回去，要求每封信不能装回它原来的信封，问有多少种装法?
解法：假设第i封信装入第1个信封，则剩下的信和信封有两种情况：①第1封信恰好也装入了第i个信封，问题为f(n-2)；②第1封信没有装入第i个信封，问题为f(n-1)。而i有n-1种选择，所以原问题可以表示为f(n)=(n-1)(f(n-1)+f(n-2))。
public:
int countWays(int n) {
if (n == 1)
return 0;
if (n == 2)
return 1;
long f1 = 0,f2 = 1;
long mod = 1000000007;
for (int i = 3;i <= n;i++) {
long temp = (i-1)*(f1+f2)%mod;
f1 = f2;
f2 = temp;
}
return (int)f2;
}
};