面試題：一直青蛙一次可以跳上 1 級臺階，也可以跳上 2 級，求該青蛙跳上 n 級的臺階總共有多少種跳法。
一看這道題，好像沒啥思路，感覺和我們的數據結構和常用的算法好像一點都不沾邊。
但這看起來就像一道數學題，而且似乎就是高考數學的倒數第一題，所以我們就用數學來做吧。
數學中有個方法叫「數學歸納法」，我們這裏就可以巧妙用到。
- 當 n = 1 時，青蛙有 1 種跳法；
- 當 n = 2 時，青蛙可以選擇一次跳 1 級，跳兩次；也可以選擇一次跳 2 級；青蛙有 2 種跳法；
- 當 n = 3 時，青蛙可以選擇 1-1-1，1-2，2-1，青蛙有 3 種跳法；
- 當 n = 4 時，青蛙可以選擇 1-1-1-1，1-1-2，1-2-1，2-1-1，2-2，青蛙有 5 種跳法；似乎能得到 f(3) = f(2) + f(1)，f(4) = f(3) + f(2)，這是 f(n) = f(n-1) + f(n-2) 的節奏？我們得用 n = 5 驗證一下。
- 當 n =5 時，青蛙可以選擇1-1-1-1-1，1-1-1-2，1-1-2-1，1-2-1-1，2-1-1-1，1-2-2，2-1-2，2-2-1，青蛙有 8 種跳法，f(5) = f(4) + f(3) 成立。
- 這是最笨的方法了，得出了這確實就是一個典型的斐波那契數列，唯一不一樣的地方就是 n =2 的時候並沒有 f(2) = f(0) + f(1)。
稍微有點思維能力的可能更簡單。
- n = 1 ，青蛙有 1 種跳法；
- n = 2 ，青蛙有 2 種跳法；
- n = 3，青蛙在第 1 級可以跳 1 種，後面 2 級相當於 f(3-1) = f(2)，還有一種就是先跳 2 級，然後後面 1 級有 f(3-2) = f(1) 種跳法，可以得出 f(3) = f(2) + f(1)；
… 當取 n 時，青蛙在第一次跳 1 級，後面的相當於有 f(n-1) 種跳法；假設第一次跳 2 級，後面相當於有 f(n-2) 種跳法；故可以得出 f(n) = f(n-1) + f(n-2)；
這樣思考可能更不容易出錯吧，這就是思維的提煉過程，可見我們高考常考的「數學歸納法」是多麼地有用。
既然能分析出這是一道
典型的斐波那契數列了，我想教科書都教給大家方法了，不過一定要注意 n = 2 的時候，正常的斐波那契數列值應該是 1，而我們是 2。大多數人肯定會寫出下面的代碼：
public class Test09 {
private static int fn(int n) {
if (n <= 0)
return 0;
if (n == 1)
return 1;
if (n == 2)
return 2;
else
return fn(n - 1) + fn(n - 2);
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(fn(1));
System.out.println(fn(2));
System.out.println(fn(3));
System.out.println(fn(4));
}
}我們教科書上反覆用這個問題來講解遞歸函數，但並不能說明遞歸的解法是最適合這個題目的。當我們暗自竊喜完成了這道面試題的時候，或許面試官會告訴我們，上面的這種遞歸解法存在很嚴重的效率問題，並讓我們分析其中的原因。
我們以求 fn(10) 爲例，要想求得 fn(10)，需要先求得 fn(9) 和 fn(8)；同樣，要求得 fn(9)，需要先求得 fn(8) 和 fn(7)……
這存在一個很大的問題，我們一定會去重複計算很多值，我們一定得想辦法把這個計算好的值存放起來。
避免重複計算
既然我們找到了問題所在，那改進方法自然是信手拈來了。我們目前的算法是「從大到小」計算，而我們只需要反向「從小到大」計算就可以了。我們根據 fn(1) 和 fn(2) 計算出 fn(3)，再根據 fn(2) 和 fn(3) 計算出 fn(4)……
很容易理解，這樣的算法思路時間複雜度是 O(n)，實現代碼如下：
public class Test09 {
private static long fn(int n) {
if (n <= 0)
return 0;
if (n == 1)
return 1;
if (n == 2)
return 2;
long prePre = 1, pre = 2;
long result = 0;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
result = prePre + pre;
prePre = pre;
pre = result;
}
return result;
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(fn(1));
System.out.println(fn(3));
System.out.println(fn(50));
System.out.println(fn(100));
}
} 上面的代碼，一定要注意做了一點小修改，我們把返回值悄悄地改成了 long ，因爲我們並不能保證客戶端是否會輸入一個比較大的數字，比如：100，這樣，如果返回值爲 int，一定會因爲超出了最大值而顯示錯誤的，解決方案就是把值換爲更大容量的 long。但有時候你會發現，long 的容量也不夠，畢竟整型和長整型，它都會有最大顯示值，在遇到這樣的情況的時候。我們最好和面試官交流一下，（多問兩句總不會有錯）是否處理這樣的情況。如果一定要處理這樣的情況，那麼可能你就得用 String 來做顯示處理了。
題目來源於《劍指 Offer》，本文轉自微信公衆號nanchen