- 此係列文章僅爲學習數學基礎記錄的筆記
- 爲此後快速複習提供可行的方案
定義
- 集合：是指具有某種特定性質的具體的或抽象的對象彙總成的集體，這些對象稱爲該集合的元素。
- 基數： 集合中元素的個數稱爲集合的基數，又稱爲勢（記爲 |A|）
常見集合：
- 自然數：
N - 整數：
Z - 有理數 :
Q - 實數 ：
R - 複數：
C - 空集：
∅ 表示符號
- 存在：
∃ - 任意：
*∀ 集合運算
- 交集：
A∩B=x:x∈A且x∈B - 並集：
A∪B=x:x∈A或x∈B - 差集：
A∖B=x:x∈A且x∉B 區間
- 開區間： (a,b) = {
x:a<x<b }- 閉區間： [a,b] = {
x:a≤x≤b }領域
- 領域：
U(a,ϵ) = {x:a−ϵ<x<a+ϵ }- 空心領域：
U0(a,ϵ) = {x:a−ϵ<x<a+ϵ且x≠a }實數集
- 實數集上的數和數軸上的點一一對應
- 有理數： 在數軸上以稠密的方式存在：
∀(a,b)∩Q≠∅ - 等勢
Z≈N N≈Q (0,1)≈R N不等勢R
映射
f:A→B : 兩個非空集合中A,B，存在法則f,使得A 中的每個元素a都能在B中找到唯一確定的元素b。b 稱爲a在映射下的象：b=f(a) - 單射： A元素在B上必有象
- 滿射： B元素在A上必有原象
- 雙射： 一一映射
常用不等式
- 三角不等式：
|x+y|≤|x|+|y| - 伯努利不等式： 對於
∀x:x≥−1,∀n:n∈Z ,則
(1+x)n≥1+nx - 算數平均值大於等於幾何平均值：對於任意n個非負實數則有:
x1+x2+x3+⋯+xnn≥x1x2x3⋯xn−−−−−−−−−−√n
六類基本初等函數
- 常數函數 ：
y=C - 冪函數：
y=xa,a>0 - 指數函數：
y=ax,a>0 (與對數函數互爲反函數)- 對數函數：
y=logxa,a>0,a≠1 - 三角函數：
y=sinx,y=conx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx
六角關係:順時針方向畫 sinx、cosx、cots、cscx、secx、tanx，組成的圓中間爲1：
sinx2+conx2=1,tanx2+1=secx2,1+cotx2=cscx2
sinx∗cscx=1,tanx∗cotx=1,cosx∗secx=1
sinx=cosxcotx,cosx=cotxcscx,⋯tanx=sinxcosx - 反三角函數： （三角函數的逆函數）
arcsinx、arccosx、arccots、arccscx、arcsecx、arctanx
函數奇偶性
** 奇函數 ： 關於x軸對稱
f(x)=−f(−x) , e.g.sinx=−sinx(−x)
** 偶函數 ： 關於y軸對稱f(x)=f(−x) , e.g.cosx=cos(−x)