python實現基本的矩陣運算

首先聲明矩陣的構建運算均在numpy模塊中由相應的函數，而本文的目的主要是因爲閒的無聊

矩陣及其運算

什麼是矩陣？

• 由$m{\times}n$個  $a_{ij}$(i=1,2,${\cdots}$,m;j=1,2,${\cdots}$,n) 數排列成的m行n列的數表

$A=\begin{bmatrix} {a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1n}}\\ {a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2n}}\\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots}\\ {a_{m1}} & {a_{m2}} & {\cdots} & {a_{mn}}\\ \end{bmatrix}記作{A_{m*n}}$

這m×n個數稱爲矩陣A的 元素（元）

矩陣基本運算

加法

• 兩個$m{\times}n$的矩陣相加，即對應元素相加

$\begin{bmatrix} {a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1n}}\\ {a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2n}}\\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots}\\ {a_{m1}} & {a_{m2}} & {\cdots} & {a_{mn}}\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} {b_{11}} & {b_{12}} & {\cdots} & {b_{1n}}\\ {b_{21}} & {b_{22}} & {\cdots} & {b_{2n}}\\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots}\\ {b_{m1}} & {b_{m2}} & {\cdots} & {b_{mn}}\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} {a_{11}+b_{11}} & {a_{12}+b_{12}} & {\cdots} & {a_{1n}+b_{1n}}\\ {a_{21}+b_{21}} & {a_{22}+b_{22}} & {\cdots} & {a_{2n}+b_{2n}}\\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots}\\ {a_{m1}+b_{m1}} & {a_{m2}+b_{m2}} & {\cdots} & {a_{mn}+b_{mn}}\\ \end{bmatrix}$

加法滿足：

1. $A + B = B + A$ (交換律)
2. $(A + B) + C = A + (B + C)$ （結合律）

數乘

• 數$\lambda$與矩陣$A$的乘積記作$\lambda A$或$A \lambda$

$\lambda A = A \lambda=\begin{bmatrix} {\lambda a_{11}} & {\lambda a_{12}} & {\cdots} & {\lambda a_{1n}}\\ {\lambda a_{21}} & {\lambda a_{22}} & {\cdots} & {\lambda a_{2n}}\\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots}\\ {\lambda a_{m1}} & {\lambda a_{m2}} & {\cdots} & {\lambda a_{mn}}\\ \end{bmatrix}$

數乘滿足：

1. $(\lambda \mu)A = \lambda (\mu A)$ $\lambda \mu$爲常數
2. $(\lambda \mu)A = \lambda A + \mu A$
3. $\lambda (A+B) = \lambda A + \lambda B$

乘法

Hadamard乘積

• 兩個同型矩陣中對應元素乘積，記作$A\bigodot B$

$\begin{bmatrix} {a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1n}}\\ {a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2n}}\\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots}\\ {a_{m1}} & {a_{m2}} & {\cdots} & {a_{mn}}\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} {b_{11}} & {b_{12}} & {\cdots} & {b_{1n}}\\ {b_{21}} & {b_{22}} & {\cdots} & {b_{2n}}\\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots}\\ {b_{m1}} & {b_{m2}} & {\cdots} & {b_{mn}}\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} {a_{11}{\times}b_{11}} & {a_{12}{\times}b_{12}} & {\cdots} & {a_{1n}{\times}b_{1n}}\\ {a_{21}{\times}b_{21}} & {a_{22}{\times}b_{22}} & {\cdots} & {a_{2n}{\times}b_{2n}}\\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots}\\ {a_{m1}{\times}b_{m1}} & {a_{m2}{\times}b_{m2}} & {\cdots} & {a_{mn}{\times}b_{mn}}\\ \end{bmatrix}$

點積

• $A=(a_{ij})$是$m{\times}s$矩陣，$B=(b_{ij})$是$s{\times}n$矩陣
  規定矩陣$A$與矩陣$B$的乘積$m{\times}n$矩陣$C=(c_{ij})$,其中:
  

$\boxed{c_{ij} = a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+{\cdots}+a_{is}b_{sj}\\ \quad =\displaystyle \sum^{s}_{k=1}{a_{ik}b_{kj}}(i=1,2,{\cdots},m;j=1,2,{\cdots},n)}$

矩陣點積滿足：

1. $(AB)C=A(BC)$
2. $\lambda (AB) = (\lambda A)B = A(\lambda B)$
3. $A(B+C) = AB + AC \;\;\;(B+C)A = BA + CA$
4. $AB\neq BA$

矩陣相乘不滿足交換律

python實現矩陣基本運算思路及代碼

環境

Anaconda 3 + Python 3.6.5 + Jupyter

模塊導入

import numpy as np

加法

思路

• 參考矩陣加法公式

1. 先判斷兩矩陣能否相加
2. 遍歷兩個矩陣
3. 各相同位置元素相加

實現

def add(a, b):
    if(a.shape != b.shape):
        print('兩矩陣不爲同型矩陣！')
        return
    c = np.zeros(a.shape)
    for i in range(a.shape[0]):
        for j in range(a.shape[1]):
            c[i][j] = a[i][j] + b[i][j]
    return c

數乘

思路

• 參考矩陣數乘公式

1. 遍歷矩陣
2. 相乘

實現

def numSub(a, b):
    c = np.zeros(a.shape)
    for i in range(a.shape[0]):
        for j in range(a.shape[1]):
            c[i][j] = a[i][j] * b
    return c

Hadamard乘積

思路

• 參考Hadamard乘積公式

與矩陣加法思路一致

實現

# 矩陣對應元素相乘 Hadamard乘積
def had(a,b):
    if(a.shape != b.shape):
        print('兩矩陣不爲同型矩陣！')
        return
    c = np.zeros(a.shape)
    for i in range(c.shape[0]):
        for j in range(c.shape[1]):
            c[i][j] = a[i][j] * b[i][j]

點積

思路

• 參考矩陣點積公式

理解公式：乘積C的第m行第n列的元素等於矩陣A的第m行的元素與矩陣B的第n列對應元素乘積之和。

1. 判斷兩矩陣是否爲同型矩陣
2. 構建m行n列的結果矩陣
3. 向結果矩陣中賦值:
   (1). 遍歷結果矩陣
   (2). 求出矩陣A對應行與矩陣B對應列的元素乘積之和:
            根據公式，A矩陣的行與B矩陣的列均確定，因此根據累加條件遍歷兩個矩陣來確定另一個索引位置，並累加求和

實現

# 矩陣相乘
def mul(a,b):
    if(a.shape[1] != b.shape[0]):
        print('兩矩陣不能相乘')
        return
    m = a.shape[0]
    n = b.shape[1]
    s = a.shape[1]
    c = np.zeros((m,n))
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            for k in range(s):
                c[i][j] += a[i][k]*b[k][j]
            pass
        pass
    return c