李宏毅線性代數-基本概念

Matrix-vector Product

矩陣與向量的乘積，可以看作是向量的每一個元素與矩陣中對應列向量的相乘，再求和

Having Solution or Not

線性方程組是否有解，等價於，b是否是A的列向量的線性組合

舉例：

1）b不是A的列向量的線性組合

2）b是A的列向量的線性組合

Span

一組列向量的Span是指，這組列向量的所有線性組合構成的集合。
對於一組二維列向量，如果存在兩個不平行的非零向量，那麼這組列向量的Span就是整個二維平面。

進一步，線性方程式是否有解，等價於b是否是A的列向量的線性組合，等價於b是否在A的列向量的Span集合中。

Summary

How many solutions?

一組向量獨立

1. 一組向量dependent，那麼如果線性方式組有解，它一定有無窮多組解
   反之，如果線性方程組有無窮多組解，那麼這組向量一定是dependent的
   證明如下：
2. 零向量所在的向量組，都是非獨立的
   因爲零向量能由向量組中其他向量線性組合表示，係數取0即可

矩陣的秩與Nullity

矩陣A的秩爲n，等價於矩陣A的列向量是獨立的

Summary

如果線性方程組有非唯一解，那麼它至少有2個解；而根據線性方程組的線性性質，通過這兩個解可以得到無窮多其他解。
也就是說，線性方程組如果有解，要麼有一組解，要麼有無窮組解。