- 此系列文章仅为学习数学基础记录的笔记
- 为此后快速复习提供可行的方案
定义
- 集合：是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素。
- 基数： 集合中元素的个数称为集合的基数，又称为势（记为 |A|）
常见集合：
- 自然数：
N - 整数：
Z - 有理数 :
Q - 实数 ：
R - 复数：
C - 空集：
∅ 表示符号
- 存在：
∃ - 任意：
*∀ 集合运算
- 交集：
A∩B=x:x∈A且x∈B - 并集：
A∪B=x:x∈A或x∈B - 差集：
A∖B=x:x∈A且x∉B 区间
- 开区间： (a,b) = {
x:a<x<b }- 闭区间： [a,b] = {
x:a≤x≤b }领域
- 领域：
U(a,ϵ) = {x:a−ϵ<x<a+ϵ }- 空心领域：
U0(a,ϵ) = {x:a−ϵ<x<a+ϵ且x≠a }实数集
- 实数集上的数和数轴上的点一一对应
- 有理数： 在数轴上以稠密的方式存在：
∀(a,b)∩Q≠∅ - 等势
Z≈N N≈Q (0,1)≈R N不等势R
映射
f:A→B : 两个非空集合中A,B，存在法则f,使得A 中的每个元素a都能在B中找到唯一确定的元素b。b 称为a在映射下的象：b=f(a) - 单射： A元素在B上必有象
- 满射： B元素在A上必有原象
- 双射： 一一映射
常用不等式
- 三角不等式：
|x+y|≤|x|+|y| - 伯努利不等式： 对于
∀x:x≥−1,∀n:n∈Z ,则
(1+x)n≥1+nx - 算数平均值大于等于几何平均值：对于任意n个非负实数则有:
x1+x2+x3+⋯+xnn≥x1x2x3⋯xn−−−−−−−−−−√n
六类基本初等函数
- 常数函数 ：
y=C - 幂函数：
y=xa,a>0 - 指数函数：
y=ax,a>0 (与对数函数互为反函数)- 对数函数：
y=logxa,a>0,a≠1 - 三角函数：
y=sinx,y=conx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx
六角关系:顺时针方向画 sinx、cosx、cots、cscx、secx、tanx，组成的圆中间为1：
sinx2+conx2=1,tanx2+1=secx2,1+cotx2=cscx2
sinx∗cscx=1,tanx∗cotx=1,cosx∗secx=1
sinx=cosxcotx,cosx=cotxcscx,⋯tanx=sinxcosx - 反三角函数： （三角函数的逆函数）
arcsinx、arccosx、arccots、arccscx、arcsecx、arctanx
函数奇偶性
** 奇函数 ： 关于x轴对称
f(x)=−f(−x) , e.g.sinx=−sinx(−x)
** 偶函数 ： 关于y轴对称f(x)=f(−x) , e.g.cosx=cos(−x)