狀態轉移思想解讀：輾轉相除（歐幾里德）算法及擴展

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1 算法實現

1.1 歐幾里德算法(輾轉相除法)

歐幾里德算法，也被稱爲輾轉相除法，其被用於求解兩個數之間的最大公約數，常用gcd(A，B) 進行表示。

它的算法實現十分容易，如下：

int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
      return a;
    else 
      return gcd(b,a%b);
}

1.2 擴展歐幾里德算法

擴展歐幾里德算法是用來求解這樣一個式子：

　　　　　　　　A∗x+B∗y=gcd(A，B)
　　　　　　　　求解： x=? , y=?
這裏的x，y不是唯一解，當得知一組可行解之後，其它的可行解都可以表示出來：
　　　　　　　
　　　　　　　　xk=x+(k∗Bgcd(A,B))
　　　　　　　　yk=y−(k∗Agcd(A,B))
　　　　　　　　k 爲任意整數　　　　　　　　　　　　　

在這裏不闡述，x，y的值有何用處，如果你是acmer，應該發現有不少題，需要利用這個性質。

擴展歐幾里德算法的實現也很簡單，在原有歐幾里德算法的基礎上，少許額外的代碼，即能實現：

    int exGcd(int a,int b,int &x,int &y)  
    {  
        if(b==0)  
        {  
            x = 1;  
            y = 0;  
            return a;
            // 此時a = gcd(A,B)  
            // a * 1 + b * 0 = gcd(A,B)
            // 由於b=0，y可以任意取值
        }  

        int d = exGcd(b, a%b, y, x); // 注意這裏x，y的位置對調  
        y -= a/b * x;  
        return d; // 返回最大公約數  
    }  

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2 狀態轉移思想

看了上面的實現，相信你的第一感覺是十分簡潔，確實也如此，對於一個不懂這兩種算法的人，如果提醒你從“動態規劃”,“狀態轉移”等角度思考這兩個問題，相信會有不少人能夠AC它們。

先來看看兩個明顯的結論：

• 如果A=B，gcd(A,B)=A或B

• 如果A=0，gcd(A,B)=B，同理，如果B=0，gcd(A，B)=A

看到這裏，相信你會有一種直覺：是否能夠將求解gcd(A,B) , 轉換成更小的兩個數A1,B1 ，使得gcd(A,B)=gcd(A1,B1) 呢？而這種狀態轉移思想經常被用到：

• 分治： 大問題分解成小問題，小問題更容易被解決，最終，合併小問題的結果，解決大問題

• 動態規劃： 一個狀態能夠從多個狀態轉移而來，其最優值將從這多個狀態的最優值中選取

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3 狀態轉移方程

3.1 歐幾里德

結論：　gcd(A,B)=gcd(A−B,B)

證明：

　設 A=k1∗gcd(A,B),B=k2∗gcd(A,B)(A≥B)

　顯然 gcd(k1,k2)=1

　A−B=(k1−k2)∗gcd(A,B)

　可以使用反證法證明： gcd(k1−k2，k2)=1
　因此gcd(A,B)=gcd(A−B,B)

　當你發現存在這樣的狀態轉移，歐幾里得算法，其實已經解決了。然後再分析下，不難發現更快速的狀態轉移方程：

　　　　　gcd(A,B)=gcd(A%B,B)

　而這就是上面代碼實現中，使用的狀態轉移方程。

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3.2 擴展歐幾里德

有了上面狀態轉移的基礎，我們可以將問題進行如下轉換：
狀態轉移：(A0,B0,x0,y0)←(A1,B1,x1,y1)

　　　　　A0∗x0+B0∗y0=gcd(A,B)
　　　　　A1∗x1+B1∗y1=gcd(A,B)

其中：
　A1=B0
　B1=A0%B0=A0−(A0/B0)∗B0
　x1, y1 的值已經知道，現在需要反推出x0, y0 的值

只需代入上面的關係，即可推導出狀態轉移的公式：

　 A1∗x1+B1∗y1

　=B0∗x1+[A0−(A0/B0)∗B0]∗y1

　=A0∗y1+B0∗[x1−(A0/B0)∗y1]

　=A0∗x0+B0∗y0

推導結果：

　x0=y1
　y0=x1−(A0/B0)∗y1

擴展歐幾里德算法，就這樣被你解決了！