數據結構與算法小結（2）

一、二叉搜索樹

1.BST試圖解決的問題：

高效的兼顧靜態的查找和動態的增刪。
在基本的數據結構中
    數組通過尋秩可實現高效的查找，但增刪效率低；
    向量通過尋位置訪問，增刪高效，但查找低效，而且因爲增刪前通常都需要先找到對應的元素，這使得其效果更差。

改進思路是改變訪問方式，使用尋關鍵碼訪問。引入關鍵碼，將數據項與其關鍵碼綁定，統一的表示爲詞條的形式，根據關鍵碼來訪問元素，用數據項保存元素。
關鍵碼需支持比較器和判等器。

2.BST的特性

順序性：任一節點均不小於/不大於其左/右後代
單調性：BST的中序遍歷序列必然單調非降。BST的充要條件
BST中，根節點中序遍歷的後繼爲右子樹中最小的節點

3.BST的接口實現

查找：類似二分查找，最後得到匹配節點（無匹配項時爲空的哨兵節點）以及其父節點_hot。

插入：查找，無雷同元素則將待插入節點作爲找到的_hot節點的子節點插入。

刪除：先查找，找到的節點只有一個子樹時，直接刪除，用其子樹替換；若有兩個子樹，找到該節點的後繼（比該節點大的最小的節點，該點必定只有一個子樹），先交換這兩個點，再刪除需刪除的節點。

刪除的算法實現：
Template <typename T> static BinNodePosi(T)
removeAt( BinNodePosi(T) & x,BinNodePosi(T) & hot ){
    BinNodePosi(T) w = x;               //實際被摘除的節點，初值同x
    BinNodePost(T) succ = NULL;         //實際被刪除節點的接替者
    if(!hasLChild(*x)){
        succ = x = x->rChild;           //情形一：待刪除節點沒有左孩子，直接以右孩子接替（右孩子可爲空）。
    }else if(!hasChild(*x)){
        succ = x = x->lChild;           //這段代碼不會走到，沒有孩子時，肯定沒有左孩子，會走情形一
    }else{                              //情形二：待刪除節點有左右孩子
        w = w->succ();                  //先找到在中序遍歷中，待刪除節點的後繼（即比待刪節點大的最小節點）
        swap(x->data,w->data);          //交換待刪節點與其後繼的值
        BinNodePosi(T) u = w->parent;   //找後繼是先找右孩子，然後沿左側鏈到底，所以此處有此判斷。需注意的是，左側鏈到底，所以其必定沒有左孩子，可能由右孩子
        (u == x ? u->rChild :u->lChild) = succ = w->rChild;     
    }
    hot = w->parent;
    if(succ){        //若之前找到的後繼有右孩子
        succ->parent = hot;  //因爲其一定沒有左孩子，所以可以通情形一處理。
    }
    release(w->data);
    release(w);
    return succ;
}

4.適度平衡

理想平衡：葉節點只能出現在最底部的兩層，即完全樹甚至滿樹。
適度平衡：高度漸進地不超過o(logn),即可稱作適度平衡。即平衡二叉搜索樹BBST。
    對於每個節點，其子節點數爲偶數，即要麼沒有子節點，要麼有兩個子節點。
等價BST：上下可變（父子關係可顛倒），左右不亂（中序遍歷序列不變，全局保持單調非降）。
    等價變換、旋轉調整。zig順時針，zag逆時針

適度平衡的例子之AVL樹：

AVL樹：所有節點左右子樹的高度只差不大於1。
    高度爲h的AVL樹，至少包含S(h) = fib(h + 3) - 1個節點。
    由n的節點構成的AVL樹，高度至多爲o(logn)

AVL實現：
    每個節點需維護一個平衡因子，其值爲左子樹樹高減去右子樹樹高，每次增刪節點時，都需向上冒泡計算。所以，每個節點還需維護一個記錄其樹高的成員變量。
    插入：若要失衡，共有四種情況，因對稱的重複，可分兩種情況討論
        1.左（右）側鏈，此時單旋即可使子樹高度復原
        2.Z字鏈，此時雙旋也可使子樹高度復原
        當子樹高度復原時，其更高的祖先也必定平衡。
    刪除：同插入一樣，也可以分爲兩種情況討論，但不同的是，刪除後經過單旋或雙旋，原樹高度不一定會復原，更高祖先仍可能失衡，這就是失衡傳播現象，最壞需要做o(logn)次調整。
    雙旋：
        zigzig都在左側，順時針旋轉
        zagzag都在右側，逆時針旋轉
        zigzag 右、左，雙旋，之字形排列
        zagzig 左、右
    雙旋實現：將三個節點（a,b,c）、四顆子樹(A,B,C,D)看做單個元素做中序遍歷,傳入7個參數，最後返回一顆子樹，該子樹以b爲根，左右孩子分別爲a、c,a的孩子爲A、B，c的孩子爲C、D。此時樹高最小。
    雙旋實現的啓發：理論分析時使用的是形象的工具，實際操作時，往往有更暴力、性能更優的解，當然，這些解需要對理論的工具有更深的理解才能想到。

二、高級搜索樹

1.伸展樹：

伸展樹期望解決的問題：

更快的訪問。
它依賴於這樣一個現象：剛被訪問過的數據，很有可能會很快的被再次訪問；下一個訪問的數據極有可能在剛訪問的數據附近。這就是數據訪問的局部性。
伸展樹的策略：
    節點一旦被訪問，隨即調整至樹根。自下而上，逐層單旋，直到被推到樹根。