一、概述
數據結構，即數據存放的方式。算法，解決問題的方法。討論數據結構與算法時，常常不會僅僅滿足於能解決一個特定的問題，而是在追求如何優雅而高效的解決一類問題。
本文針對學堂在線的數據結構課程的小結，用以鞏固知識點。課程主要介紹的是向量、鏈表、BST、堆等數據結構的特點以及在這些數據中存儲、訪問數據的具體的、不同的實現算法的比較，其中有大量的實例和具體的數據變換時數據結構的狀態，便於理解。
二、算法好壞的評判
算法的定義
特定計算模型下，旨在解決特定問題的指令序列，需具備的特性：a.正確性：的確可以解決指定的問題。 //得到正確的結果 b.確定性：任一算法都可以描述爲一個由基本操作組成的序列 //可以被轉化爲具體的操作步驟，且無二義性 c.可行性：每一基本操作都可實現，且在常數時間內完成。 d.有窮性：對於任何輸入，經有窮次基本操作，都可以得到輸出具備以上特性，只能說是一個算法，而好算法，還需要滿足這些要求：
A.正確：能正確處理簡單的、大規模的、一般的、退化的（平凡的，即特例）、任意合法的輸入 B.健壯：能辨別不合法的輸入並做適當處理 //任意非法輸入 C.可讀：命名、註釋、統一風格 //便於理解和維護算法優劣的評判
漸進分析：大O記號，忽略常數，更關心輸入足夠大後的成本，注重考察成本的增長趨勢。
注意，有些特殊的算法在漸進意義上可以讓人滿意，但實際在使用時，由於被忽略的常數項太大、訪問內存地址非連續而導致無法利用CPU的高速緩存特性等原因，表現的效果與漸進分析結果相差很大，所以需在此特別指出，漸進分析只是一種主要的分析工具，但它不是評判算法好壞的硬性標準，需以具體算法在應用中的實際表現爲準。
算法正確性的證明：
類似遞歸，由算法的不變性（處理方式固定） 和單調性（規模不斷縮減），最終得到算法的正確性。遞歸到迭代的轉換：
a. 記憶：將已計算過的實例的結果製表備查
b. 動態規劃：顛倒計算方向，有自頂而下的遞歸，改爲自底而上的迭代。
三、向量
- 向量，是數組的抽象與泛化，由一組元素按線性次序封裝而成。
相關概念：
輸入敏感：對於不同的輸入，算法所需時間相差很大，比如，對於無序向量的順序查找操作，最好需要O(1)常數，最差需要O(n)線性。 有序性和無序性：是否存在相鄰的逆序對。而相鄰逆序對的數量可用於度量向量的逆序程度。 判等器：比較元素之間是否相等。 比較器：比較不同元素在邏輯上的大小關係。 無序向量可以只有判等器，而沒有比較器；有序向量必須兩者都有。所謂有序的序，就是由比較器比較得到的順序。 排序算法的穩定性：針對含有重複元素的向量而言的。所謂的穩定，就是相同的元素在排序前後的，它們之間的次序保持不變。得到的啓發：
在有序向量的去重（唯一化）算法中，其最終算法簡述如下：維持兩個指針，一個指針j用於遍歷向量，另一個記錄應該保留的元素，當找到每一塊重複區域中的第一個元素，即一個新的不重複元素時，arr[i++] = arr[j],若元素存在arr[j]==arr[i],則i不變j++，最後將向量長度調整爲i即可。這種覆蓋無效元素處理方式，在時間和空間上都是高效的，值得借鑑。
四、列表
根據是否修改的數據結構，所有的操作大致分爲兩類方式
靜態：僅讀取，數據結構的內容及組成一般不變。類似於http的get操作，重複多次操作得到的結果相同。
動態：需寫入，數據結構的局部或整體將改變。類似於http協議中的post、remove等非冪等的操作。
對應的數據元素的存儲與組織方式也分爲兩種
靜態：通過物理內存的位置來體現數據的層級關係。如數組，左式堆等。
動態：物理位置任意，數據的層級關係由與數據綁定存儲的額外信息提供，如鏈表，二叉樹等。每個元素都會維護相應的引用，指向與其有關聯的元素所在存儲位置。
列表的相關概念
頭、首、末、尾節點，其秩可理解爲：-1、0、n-1、n。
頭尾哨兵的引用，使列表首節點前、末節點後插入元素以及查找元素等處的處理變得簡單。
前驅爲元素指向前一個節點的引用，後繼爲元素指向後一個節點的引用。進行插入、刪除元素等動態操作時，需同步維護相鄰元素的前驅、後繼。
補充
在不支持指針的語言中實現列表的方法：
兩個數組，一個爲elem[]保存數據，另一個在秩相同的位置保存後繼元素的秩（實現對後繼的引用），需對外提供首節點的秩。
五、棧
操作
壓棧 push
彈出 pop
查頂 top
棧深度 size
特點
先進後出（FILO）
實現
以向量來實現，並以向量末端爲棧頂。如此實現比以向量首端爲棧頂或列表的實現，效率更高。
應用
逆序輸出
短除法，結果存入棧中，最後逆序輸出void convert(Stack<char> &s, _int64 n, int base){ //base 待轉進制 static char digit[] = {'0','1','2','3','4','5','6','7'}; while(n > 0){ s.push(digit[n % base]); n /= base; } }遞歸嵌套
以括號匹配爲例，採用減而治之或分而治之。需要分解之前的情況爲分解之後情況的必要條件，而非充分條件。即，可以由分解後的情況並不是唯一可以推出分解前情況的解。
重要條件：減去緊鄰的括號
使用棧來實現：bool paren(const char exp[],int lo,int hi){ //exp中只存有左右括號。 Stack<char> s; for(int i = lo;i < hi;i++){ if('(' == exp[i]){s.push(exp[i]);} else if(!s.empty()){s.pop();} else{return false;} } return s.empty(); } 計數器也可實現上述功能。+/- 但存在多個括號，如“[(])”時，因爲不能嵌套使用括號，所以使用棧，而計數器將無效。 可由此推廣到html標籤的嵌套檢查。棧混洗：stack permutation
[棧底，棧頂>
長度爲n的序列，可能的棧混洗總數：(sp(n)<=n!全排列);
推導步驟：1號元素作爲第k個元素推入棧中時的總數：
sp(k-1)*sp(n-k)
對上式從1到n（k可能的取值）求和，得總數爲catalan(n) = (2*n)!/(n+1)!/n!。棧混洗的甄別：
任意三個元素能否按某相對次序出現於混洗中，與其他元素無關。
充要條件：對於任何1<=i < j < k <= n, k,i,j必然非棧混洗 （禁形，“3,1,2”必定無法洗出）甄別算法一： 任意i<j,不含j+1,i,j模式，即爲合適的棧混洗(n^2) 甄別算法二： 直接藉助棧A，B，S模擬棧混洗過程 pop前檢測S是否爲空；或需彈出的元素在S中，卻非頂元素 n的元素對應的棧混洗有多少種，n對括號對應的合法表達式就有多少種。延遲緩衝
線性掃描，預讀。liunx: $echo $(表達式) dos： set /a 表達式 表達式：(!0 ^<^< (1-2+3*4)) -5 *(6^|7)/(8^^9)棧式計算
中綴表達式的計算：
核心是將數值壓入棧，將操作符壓入另一個棧，根據棧頂的操作符與當前待壓入棧中的操作符的關係（如下圖），決定處理當前操作符，還是壓入、彈出棧頂操作符並運算，知道當前操作符可以入棧。
逆波蘭表達式（RPN，後綴表達式）的計算：
特點：不使用括號，即可表示優先級的運算關係。（但需引入另一個原字符，用於分隔相鄰的數值）
只使用一個棧來求值，從左向右掃描表達式，當遇到數值時壓入棧中，當遇到操作符時，取出相應的數值，運算後再次壓入棧中。
中綴表達式到後綴表達式的轉換：
1.用括號顯式地表示優先級
2.將運算符移到對應的括號後，
3.抹去所有的括號
六、樹
1. 相關概念
圖論中得到的結論：
樹：無環連通圖、極小連通圖、極大無環圖
任意節點通往根的路徑是唯一的。節點v ---- 路徑v到根的路徑 ---- 以節點爲根的子樹 （唯一的）
每個節點的直接孩子個數即爲該節點的出度數之和，所有節點的出度數之和爲n-1，即總邊數。n爲節點總數
半線性：祖先若存在，則必然唯一；後代若存在，則未必唯一。
根節點：所有節點的公共祖先，深度爲0。
葉子：沒有後代的節點稱爲葉子。
樹的高度：所有葉子深度中的最大者爲樹的高度。空樹高度爲-1.
樹的參考實現，使用鏈表數據結構（考慮查找、增加、刪除的效率），
每個節點中維護的引用關係由如下方式表示：
父親孩子法：
序號 | 節點數據 | 父節點序號 | 子節點列表集
長子兄弟法（主要）：
序號 | 節點數據 | 父節點 | 第一個子節點 | 下一個兄弟節點
整個樹結構需維護的信息：
樹的高度：增刪時需更新樹高。
二叉樹：
非葉子節點度數不大於2
真二叉樹：
每個節點的出度爲偶數
二叉樹可以表示所有有根有序的樹：
長子--左節點
兄弟--右節點
完全二叉樹：
葉節點：僅限於最低兩層，底層葉子均居於次底層葉子左側；除末節點的父親，內部節點均有雙子。葉節點不少於內部節點的個數，但最多多出一個。
2. 樹的遍歷
先序、中序、後序遍歷：以樹根節點的位置區分，遞歸遍歷。三種遍歷都有後代先於祖先被訪問，即，存在逆序的，所以需藉助棧結構來實現遍歷操作
先序遍歷的遞歸實現：（根節點|左子樹|右子樹）
方法一，棧結構，根元素先入棧，後進行循環，每次循環彈出棧頂並訪問，同時若有右孩子則將其，再判斷若有左孩子，有也將其壓棧並進入下一個循環，直到棧空。（要先左後右，在壓棧時就要相反）
方法二，棧結構，不斷沿左側鏈訪問，並將右子樹的根節點入棧；當訪問元素爲空時（一條左側鏈訪問完畢），從棧中彈出一個節點，同樣沿着左側鏈訪問並將右子樹壓入同一個棧，循環至棧空。
中序遍歷的遞歸實現：（左子樹|根節點|右子樹）
棧結構，【沿根節點將所有左側鏈的元素壓入棧中，彈出棧頂並訪問，轉向其右孩子】，重複【】內的操作直至棧空
後序遍歷的遞歸實現：（左子樹|右子樹|根節點）
棧結構，根節點入棧，【檢查棧頂元素，若有左孩子，1.當左孩子（lc）還有右孩子（lc-rc）時，右孩子（lc-rc）入棧，然後纔是左孩子（lc）,2.當左孩子（lc）沒有右孩子（lc-rc）時，直接入棧；若棧頂元素沒有左孩子時，棧頂元素的右孩子（rc）入棧，若右孩子（rc）也沒有，表明到達葉節點，彈出棧頂元素並訪問】，檢查棧頂元素，若爲上一個訪問元素的父親，則可直接訪問，否則必爲其右兄，重複【】。
層次遍歷：按樹的深度訪問
祖先節點必定先於後代訪問，即，順序訪問（自上而下，先左後右），藉助隊列結構實現
根節點入隊，循環取出首節點，訪問並將其左右節點順序放入隊列尾部，直至隊空。
七、圖
1. 基本概念
鄰接：同一條邊的兩個頂點，彼此鄰接。
自環：同一頂點自我鄰接，爲自環。
簡單圖：不含自環的圖，主要考察的對象。
關聯：頂點與其所屬的邊彼此關聯。
度：與同一頂點關聯的邊數。出入度，表示由頂點出、或指向頂點。
無向邊：邊的兩個頂點無次序。根據組成圖的邊有無向可將圖分爲無向圖、有向圖、混合圖。
有向圖可以表示無向圖和混合圖：一條無向邊可看做正反兩條有向邊。
DAG：有向無環圖
歐拉環路：各邊各出現一次。
哈密爾頓環路：各頂點各出現一次。
平面圖：可嵌於平面的圖。各邊互不相交。
平面圖的本質：任意平面圖滿足歐拉公式
v - e + f - c = 1
v：0維的元素，頂點
e：1維的元素，邊
f：2維的元素，區域面片
c：連通域的總數
對於平面圖：e<=3*n-6 = o(n) << n^2
邊的總數不可能超過頂點的總數
支撐樹：也稱生成樹(spanning tree)，以無向圖爲研究對象。以某一節點爲根，通過裁剪部分邊，得到一棵樹，通過該樹，可以遍歷所有的節點。特點：每對節點之間的只有唯一的路徑，支撐並不唯一。當無向圖的每條邊都附帶權重時，若得到的支撐樹的所有路徑權重之和最小（與該無向圖的其他支撐樹相比），則稱其爲最小支撐樹。實際應用：網絡中的路由計算。
連通圖：無向圖中，任意兩個頂點之間都有路徑，則稱爲連通圖。
連通域：從一個節點可以通過遍歷到達的所有區域。一個圖可能不只一個連通域
連通分量：無向圖的極大連通子圖稱爲G的連通分量。
連通圖的連通分量爲其自身。非連通圖的連通分量有多個，每個極大的連通子圖即爲一個連通分量。
可達分量：與連通分量類似，可達分量用於描述有向圖。自一個頂點通過有向圖可以達到的極大子圖即爲一個可達分量。
遍歷：
將圖變爲樹。
將數變爲線性表。
2. 圖的表示
鄰接矩陣：
頂點個數*頂點個數的二維矩陣，如若（u, v）有向邊存在，則將第u行第v列置1，否則置0。
適用：經常檢測邊的存在、做邊的插入刪除操作、稠密圖、圖規模固定（頂點樹固定）
關聯矩陣：
頂點個數*邊的個數的二維矩陣，若頂點與邊關聯，則置1，否則置0.
鄰接表：使用數組存儲頂點，每個頂點維持一個列表，只存儲存在的邊（存儲邊的另一個關聯頂點即可）
適用：經常計算頂點的度數、遍歷、稀疏圖、頂點數目不固定。
3. 圖的遍歷：
廣度優先搜索BFS：
-> 從一個節點開始，一次訪問所有尚未訪問的鄰接頂點，再循環訪問直至完成。
-> 使用隊列實現，等同於樹的廣度優先遍歷。最後會得到一顆支撐樹。
-> 遍歷所有的頂點，若未被訪問，則從其開始做BFS搜索。直到所有頂點被訪問。最後可能有多顆樹。
-> 邊的分類，一個頂點訪問後，找到一條未發現的邊，若邊的另一個鄰接頂點標記爲未訪問，則將該邊置爲樹邊（在最後支撐樹種存在的邊），否則若爲已訪問，則將該邊標記爲跨邊（不會再最後的支撐樹中出現）。
->一個連通/可達分量會得到一個支撐樹。
深度優先搜索DFS：
自頂點起，若有尚未訪問的頂點，則任取其一，遞歸執行DFS，否則返回。
最初頂點狀態初始化爲undiscovered,從某一頂點剛進入DFS時，設置dTime以及狀態爲discovered，表示開始訪問時間，當找不到未訪問頂點時，在退出DFS之前設置fTime以及裝填visited，表示訪問結束時間。
根據邊關聯的頂點狀態判斷並標識邊：當前頂點狀態一定爲discovered）
當前頂點 ---> undiscovered 樹邊
當前頂點 ---> discovered 後向邊（迴路）
當前頂點 ---> visited （當前頂點更早被發現） 前向邊（只在有向圖中出現）
當前頂點 ---> visited (當前頂點較晚發現) 跨邊
等效於樹的先序遍歷，最後也會得到一顆支撐樹。
括號引理：
頂點活躍期：fTime - dTime
一個頂點u爲另一個頂點v的祖先，當且僅當u的活躍期包含v的活躍期。
u與v無關當且僅當兩者活躍期無交集。
原因：使用遞歸，dTime、fTime的設置分別在遞歸的開始和結尾。