擴展KMP算法

作者：劉毅 

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擴展 KMP 算法

前文已經介紹了經典的 KMP 算法，本文繼續介紹 KMP 算法的擴展，即擴展 KMP 算法。

問題定義：給定兩個字符串 S 和 T（長度分別爲 n 和 m），下標從 0 開始，定義extend[i]等於S[i]...S[n-1]與 T 的最長相同前綴的長度，求出所有的extend[i]。舉個例子，看下錶：

i	0	1	2	3	4	5	6	7
S	a	a	a	a	a	b	b	b
extend[i]	5	4	3	2	1	0	0	0
T	a	a	a	a	a	c

爲什麼說這是 KMP 算法的擴展呢？顯然，如果在 S 的某個位置 i 有extend[i]等於 m，則可知在 S 中找到了匹配串 T，並且匹配的首位置是 i。而且，擴展 KMP 算法可以找到 S 中所有 T 的匹配。接下來具體介紹下這個算法。

一：算法流程展開目錄

（1）

如上圖，假設當前遍歷到 S 串位置 i，即extend[0]...extend[i - 1]這 i 個位置的值已經計算得到。設置兩個變量，a 和 p。p 代表以 a 爲起始位置的字符匹配成功的最右邊界，也就是 “p = 最後一個匹配成功位置 + 1”。相較於字符串 T 得出，S[a...p) 等於 T[0...p-a)。

再定義一個輔助數組int next[]，其中next[i]含義爲：T[i]...T[m - 1]與 T 的最長相同前綴長度，m 爲串 T 的長度。舉個例子：

i	0	1	2	3	4	5
T	a	a	a	a	a	c
next[i]	6	4	3	2	1	0

（2）

橢圓的長度爲next[i - a]，對比 S 和 T，很容易發現，三個橢圓完全相同。如上圖，此時i + next[i - a] < p，根據 next 數組的定義，此時extend[i] = next[i - a]。

（3）

如果i + next[i - a] == p呢？如上圖，三個橢圓都是完全相同的，此時我們可以直接從S[p]與T[p - i]開始往後匹配，加快了速度。

（4）

如果i + next[i - a] > p呢？那說明S[i...p)與T[i-a...p-a)相同，這和i + next[i - a] == p的情況一樣，我們直接從S[p]與T[p - i]開始往後匹配。（在以 a 爲始的匹配中，S[p]與T[p-a]已經失配）

（5）最後，就是求解 next 數組。我們再來看下next[i]與extend[i]的定義：
next[i]： T[i]...T[m - 1]與 T 的最長相同前綴長度；
extend[i]： S[i]...S[n - 1]與 T 的最長相同前綴長度。

恍然大悟，求解next[i]的過程不就是 T 自己和自己的一個匹配過程嘛，下面直接看代碼。

二：代碼展開目錄

/**
 *
 * author 劉毅（Limer）
 * date   2017-03-12
 * mode   C++
 */
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

/* 求解 T 中 next[]，註釋參考 GetExtend() */
void GetNext(string & T, int & m, int next[])
{
    int a = 0, p = 0;
    next[0] = m;

    for (int i = 1; i < m; i++)
    {
        if (i >= p || i + next[i - a] >= p)
        {
            if (i >= p)
                p = i;

            while (p < m && T[p] == T[p - i])
                p++;

            next[i] = p - i;
            a = i;
        }
        else
            next[i] = next[i - a];
    }
}

/* 求解 extend[] */
void GetExtend(string & S, int & n, string & T, int & m, int extend[], int next[])
{
    int a = 0, p = 0;
    GetNext(T, m, next);

    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        if (i >= p || i + next[i - a] >= p) // i >= p 的作用：舉個典型例子，S 和 T 無一字符相同
        {
            if (i >= p)
                p = i;

            while (p < n && p - i < m && S[p] == T[p - i])
                p++;

            extend[i] = p - i;
            a = i;
        }
        else
            extend[i] = next[i - a];
    }
}

int main()
{
    int next[100];
    int extend[100];
    string S, T;
    int n, m;

    while (cin >> S >> T)
    {
        n = S.size();
        m = T.size();
        GetExtend(S, n, T, m, extend, next);

        // 打印 next 和 extend
        cout << "next:   ";
        for (int i = 0; i < m; i++)
            cout << next[i] << " ";

        cout << "\nextend: ";
        for (int i = 0; i < n; i++)
            cout << extend[i] << " ";

        cout << endl << endl;
    }
    return 0;
}

數據測試如下：

三：時間複雜度展開目錄

對比 KMP 算法，很容易發現時間複雜度爲Θ(n+m) Θ(n+m)。

四：參考文獻展開目錄

• CSDN. ACdreamer 文. 擴展 KMP 算法