數據結構與算法-樹1

1.樹的定義

樹（Tree）是n（n≥0）個有限數據元素的集合。當n＝0 時，稱這棵樹爲空樹。在一棵非樹T 中：
（1）有一個特殊的數據元素稱爲樹的根結點，根結點沒有前驅結點。
（2）若n>1，除根結點之外的其餘數據元素被分成m（m>0）個互不相交的集合T1，T2，…，Tm，其中每一個集合Ti（1≤i≤m）本身又是一棵樹。樹T1，T2，…，Tm 稱爲這個根結點的子樹。

可以看出，樹是一種一對多的概念，在樹的定義中用了遞歸概念，即用樹來定義樹。因此，樹結構的算法類同於二叉樹結構的算法，也可以使用遞歸方法。

樹的定義還可形式化的描述爲二元組的形式：

T＝（D，R）

其中D 爲樹T 中結點的集合，R 爲樹中結點之間關係的集合。

當樹爲空樹時，D＝Φ；當樹T 不爲空樹時有：

D＝{Root}∪DF

其中，Root 爲樹T 的根結點，DF 爲樹T 的根Root 的子樹集合。DF 可由下式表示：

DF＝D1∪D2∪…∪Dm 且Di∩Dj＝Φ（i≠j，1≤i≤m，1≤j≤m）

當樹T 中結點個數n≤1 時，R＝Φ；當樹T 中結點個數n>1 時有：

R＝{<Root，ri>，i＝1，2，…，m}

其中，Root 爲樹T 的根結點，ri 是樹T 的根結點Root 的子樹Ti 的根結點。

樹定義的形式化，主要用於樹的理論描述。

圖7.1(a)是一棵具有9 個結點的樹，即T＝{A，B，C，…，H，I}，結點A 爲樹T 的根結點，除根結點A 之外的其餘結點分爲兩個不相交的集合： T1＝{B,D,E,F,H,I}和T2={C,G}，T1 和T2 構成了結點A 的兩棵子樹，T1 和T2 本身也分別是一棵樹。例如，子樹T1 的根結點爲B，其餘結點又分爲兩個不相交的集合：T11＝{D}，T12＝{E,H,I}和T13＝{F}。

T11、T12 和T13 構成了子樹T1 的根結點B 的三棵子樹。如此可繼續向下分爲更小的子樹，直到每棵子樹只有一個根結點爲止。

從樹的定義和圖7.1(a)的示例可以看出，樹具有下面兩個特點：
（1）樹的根結點沒有前驅結點，除根結點之外的所有結點有且只有一個前驅結點。
（2）樹中所有結點可以有零個或多個後繼結點。

由此特點可知，圖7.1(b)、(c)、(d)所示的都不是樹結構（互不相交）。