动态规划----优化编辑器问题

1. 问题描述
   Levenshtein 距离，又称编辑距离，指的是两个字符串之间，由一个转换成另一个所需的最少编辑操作次数。许可的编辑操作包括将一个字符替换成另一个字符，插入一个字符，删除一个字符。编辑距离的算法是首先由俄国科学家Levenshtein提出的，故又叫Levenshtein Distance。
   Ex：
   字符串A:abcdefg
   字符串B: abcdef
   通过增加或是删掉字符”g”的方式达到目的。这两种方案都需要一次操作。把这个操作所需要的次数定义为两个字符串的距离。
   要求：
   给定任意两个字符串，写出一个算法计算它们的编辑距离。
2. 解题思路
   问题抽象：将A变为B所需的最少操作步数（也可以是B变为A的最少操作步数，两个角度一样。因为A变为B如果有插入的画，对应B变为A就可以等价为删除；A变为B为替换的话，B变为A也可等价位替换；A变为B为删除的话，B变为A等价为插入，因为步数都一样）。用dp[x][y]表示A的前x个字符转换为B的前y个字符所需要的最少操作步数
   最优子结构：A的前x个字符变为B的前y个字符所需要的最少操作步数d[x][y]取决于子问题：

    1）A的最后一位参与变换：
    if(A的第x个字符不等于B的第y个字符)dp[x][y]=dp[x-1][y-1]+1 //将A的前x-1个字符变为B的前y-1个字符，然后将最后一个字符替换成B的最后一个字符（一步）
    else dp[x][y]=dp[x-1][y-1] //如果A的最后一个字符等于B的最后一个字符，则A的前x个字符变为B的前y个字符等价于将A的前x-1个字符变为B的前y-1个字符
    2）A的最后一位不参与变换（删除掉A的最后一位）
    dp[x][y]=dp[x-1][y]+1  //将A的前x-1个字符变为B，然后将最后一个字符删除
    3）B的最后一位不参与变化（删除掉B的最后一位）
    dp[x][y]=dp[x][y-1]+1  //将B的前y-1个字符变为A，然后将最后一个字符删除

    dp[x][y]=min{dp[x-1][y-1]+1或dp[x-1][y-1],dp[x-1][y]+1,dp[x][y-1]+1}

    当x=0时，即A为空字符串，则A变为B的前Y个字符所需的操作为y，dp[0][y]=y;
    同理，y=0时，dp[x][0]=x;
    这样自底向上就能求出将A变为B最少的操作步数dp[a.length][b.length].
  **动态规划的关键一步就是如何就将问题与子问题联系起来，即将问题i想办法用问题i-1表示**