網絡流基礎篇——Edmonds-Karp算法

網絡流基礎篇–Edmonds-Karp算法
BY納米黑客
這是我的一個初學者教程系列的一部分，也是這個系列的第一篇文章，這個系列計劃中將包括網絡流，線段樹，樹狀數組等一些初學者比較難以入門的內容。
因爲是初學教程，所以我會盡量避免繁雜的數學公式和證明。也儘量給出了較爲完整的代碼。
本文的目標羣體是網絡流的初學者，尤其是看了各種NB的教程也沒看懂怎麼求最大流的小盆友們。本文的目的是，解釋基本的網絡流模型，最基礎的最大流求法，即bfs找增廣路法，也就是EK法，全名是Edmonds-Karp，其實我倒是覺得記一下算法的全名和來歷可以不時的拿出來裝一裝。
比如說這個，EK算法首先由俄羅斯科學家Dinic在1970年提出，沒錯，就是dinic算法的創始人，實際上他提出的也正是dinic算法，在EK的基礎上加入了層次優化，這個我們以後再說，1972年Jack Edmonds和Richard Karp發表了沒有層次優化的EK算法。但實際上他們是比1790年更早的時候就獨立弄出來了。
你看，研究一下歷史也是很有趣的。
扯遠了，首先來看一下基本的網絡流最大流模型。
有n個點，有m條有向邊，有一個點很特殊，只出不進，叫做源點，通常規定爲1號點。另一個點也很特殊，只進不出，叫做匯點，通常規定爲n號點。每條有向邊上有兩個量，容量和流量，從i到j的容量通常用c[I,j]表示,流量則通常是f[I,j]。通常可以把這些邊想象成道路，流量就是這條道路的車流量，容量就是道路可承受的最大的車流量。很顯然的，流量<=容量。而對於每個不是源點和匯點的點來說，可以類比的想象成沒有存儲功能的貨物的中轉站，所有”進入”他們的流量和等於所有從他本身”出去”的流量。
把源點比作工廠的話，問題就是求從工廠最大可以發出多少貨物，是不至於超過道路的容量限制，也就是，最大流。
比如這個圖。每條邊旁邊的數字表示它的容量。

下面我們來考慮如何求最大流。
首先，假如所有邊上的流量都沒有超過容量(不大於容量)，那麼就把這一組流量，或者說，這個流，稱爲一個可行流。一個最簡單的例子就是，零流，即所有的流量都是0的流。
我們就從這個零流開始考慮，假如有這麼一條路，這條路從源點開始一直一段一段的連到了匯點，並且，這條路上的每一段都滿足流量<容量，注意，是嚴格的<,而不是<=。那麼，我們一定能找到這條路上的每一段的(容量-流量)的值當中的最小值delta。我們把這條路上每一段的流量都加上這個delta，一定可以保證這個流依然是可行流，這是顯然的。
這樣我們就得到了一個更大的流，他的流量是之前的流量+delta，而這條路就叫做增廣路。
我們不斷地從起點開始尋找增廣路，每次都對其進行增廣，直到源點和匯點不連通，也就是找不到增廣路爲止。當找不到增廣路的時候，當前的流量就是最大流，這個結論非常重要。
尋找增廣路的時候我們可以簡單的從源點開始做bfs，並不斷修改這條路上的delta量，直到找到源點或者找不到增廣路。
這裏要先補充一點，在程序實現的時候，我們通常只是用一個c數組來記錄容量，而不記錄流量，當流量+1的時候，我們可以通過容量-1來實現，以方便程序的實現。
Bfs過程的半僞代碼：

Procedure bfs;
  Begin
Fillchar(data,data2,vis,pre){data是隊列數組，data2是什麼……自己研究下就明白了}
Open=1;closed=0;delta=-1;
Repeat
  Inc(closed);
  Inow=data[closed];
  If inow=n then
    Begin
      Delta=data2[closed]; Break
    End;
  For k=1 to n do
    If (c[Inow,k]>0)and(not vis[k]) then
      Begin
        Vis[k]=true
        Inc(open)
        Data[open]=k
        Data2[open]=min(data2[closed],c[Inow,k])
        Pre[k]:=Inow
      End;
Until closed>=open
  If delta=-1 then exit
{接下來修改容量}
  Y=n
  X=pre[n]
  Repeat
    Dec(c[x,y],delta);
    X=pre[x]
    Y=pre[y]
  Until y=1
{修改最大流}
  Inc(tot,delta);
End;

主過程部分：

While true do
  Begin
    Bfs;
    If delta=-1 then
    Begin
      writeln(tot);halt;
    end
End

但事實上並沒有這麼簡單，上面所說的增廣路還不完整，比如說下面這個網絡流模型。

我們第一次找到了1-2-3-4這條增廣路，這條路上的delta值顯然是1。於是我們修改後得到了下面這個流。（圖中的數字是容量）

（就是1->2->3->4）

這時候(1,2)和(3,4)邊上的流量都等於容量了，我們再也找不到其他的增廣路了，當前的流量是1。
但這個答案明顯不是最大流，因爲我們可以同時走1-2-4和1-3-4，這樣可以得到流量爲2的流。
那麼我們剛剛的算法問題在哪裏呢？問題就在於我們沒有給程序一個”後悔”的機會，應該有一個不走(2-3-4)而改走(2-4)的機制。那麼如何解決這個問題呢？回溯搜索嗎？那麼我們的效率就上升到指數級了。
而這個算法神奇的利用了一個叫做反向邊的概念來解決這個問題。即每條邊(I,j)都有一條反向邊(j,i)，反向邊也同樣有它的容量。
我們直接來看它是如何解決的：
在第一次找到增廣路之後，在把路上每一段的容量減少delta的同時，也把每一段上的反方向的容量增加delta。即在Dec(c[x,y],delta)的同時，inc(c[y,x],delta)
我們來看剛纔的例子，在找到1-2-3-4這條增廣路之後，把容量修改成如下
（將1->2,2->3,3->4改爲0，增加2->1,3->2,4->3，設爲1）
這時再找增廣路的時候，就會找到1-3-2-4這條可增廣量，即delta值爲1的可增廣路。將這條路增廣之後，得到了最大流2。
那麼，這麼做爲什麼會是對的呢？我來通俗的解釋一下吧。
事實上，當我們第二次的增廣路走3-2這條反向邊的時候，就相當於把2-3這條正向邊已經是用了的流量給”退”了回去，不走2-3這條路，而改走從2點出發的其他的路也就是2-4。（有人問如果這裏沒有2-4怎麼辦，這時假如沒有2-4這條路的話，最終這條增廣路也不會存在，因爲他根本不能走到匯點）同時本來在3-4上的流量由1-3-4這條路來”接管”。而最終2-3這條路正向流量1，反向流量1，等於沒有流量。
這就是這個算法的精華部分，利用反向邊，使程序有了一個後悔和改正的機會。而這個算法和我剛纔給出的代碼相比只多了一句話而已。
至此，最大流Edmond-Karp算法介紹完畢。接下來會介紹效率更高的dinic算法，最小割，最小費用最大流等內容。敬請期待。