歐幾里得與擴展歐幾里得

歐幾里得：

int gcd(int a, int b)
{
    return !b ? a : gcd(b, a%b);
}
int lcm(int a, int b)//最小公倍數
{
    return a / gcd(a, b) * b;//先除後乘避免溢出
}

擴展歐幾里得：

存在整數對(x,y) 使得ax+by=gcd(a,b)
推導過程：
用遞歸求解擴展歐幾里得，設已經求出了下一層遞歸的解，即：ax1+by1=gcd(a,b)的解(x1,y1)
又a%b=a−(a/b)∗b
將(x1,y1) 代入到bx1+(a%b)y1=gcd(a,b) 中，得
bx1+(a−(a/b)∗b)∗y1=gcd(a,b) => ay1+b(x1−(a/b)∗y1)=gcd(a,b)
當b=0 時，顯然有a∗1+b∗0=gcd(a,b)
寫成代碼，模板如下

int extgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    int d = a;
    if(b != 0)
    {
        d = extgcd(b, a%b, y, x);
        y -= (a / b) * x;
    }
    else x = 1, y = 0;
    return d;
}

求解不定方程：

若c%gcd(a,b)=0 ，則存在整數對(x,y) ，使得a∗x+b∗y=c
通過上面的方法可得到一組特解(x0,y0) 使得a∗x+b∗y=gcd(a,b) ，那麼如何在無窮多個解中求出x，y 最小正整數解。

證明：

首先 a∗x0+a∗k∗b/gcd(a,b)+b∗y0−a∗k∗b/gcd(a,b)=gcd(a,b)
即 a∗(x0+k∗b/gcd(a,b))+b∗(y0−k∗a/gcd(a,b))=gcd(a,b)
通解爲x=x0+k∗b/gcd(a,b)，y=y0−k∗a/gcd(a,b) ，其中k=...−2,−1,0,1,2...
在所有解中最小的正整數爲(x0+b/gcd(a,b)) ，
所以對於方程a∗x+b∗y=c ，最小正整數解（以x 爲例）爲(x0∗c/gcd(a,b)+b/gcd(a,b))
注意：若b 爲負數，需將b 轉換爲正數。

int cal(int a, int b, int c)
{
    int x, y;
    int gcd = extgcd(a, b, x, y);
    if(c % gcd != 0) return -1;
    x *= c/gcd;
    b /= gcd;
    if(b < 0) b = -b;
    int ans = x % b;
    if(ans <= 0) ans += b;
    return ans;
}

同餘方程：

根據上面的內容，我們可以得到：

a∗x≡b(mod n) ，轉化爲a∗x+n∗y=b ，當b 時，方程有 gcd(a,n) 個解。
a∗x≡1(mod n) ，如果gcd(a,n)=1 ，則方程有唯一解。

解線性方程ax+by=c

bool cal(int a, int b, int c)
{
    int x0, y0;
    int d = extgcd(a, b, x0, y0);
    if(c % d) return false;
    int x = x0*c/d, y = y0*c/d;
    kx = b/d, ky = -a/d;
    return true; // 解集爲：(x+kx*t, y+ky*t)，t爲整數
}