夜深人靜寫算法（十一）- 最小包圍球

一、前言

1、空間點集的最小包圍球

【例題1】三維空間中N(N <= 1000000)個點的集合，需要求一個球體包圍所有的點，並且半徑最小。算法要求給出這個球體的球心和半徑大小。

圖一-1-1

最小包圍球在計算幾何、碰撞檢測、人工智能以及模式識別等領域都有着廣泛應用。計算機圖形學中，三維空間點集的最小包圍球相比三維凸包而言，可以更加快速且精確的進行碰撞檢測。而這些領域中點集的數據量往往是巨大的，所以快速有效的求解最小包圍球的算法就顯得尤爲重要。

我們知道一個三維空間中離散點集的最小包圍球一定是唯一的，只要求出這個球心，半徑就是球心到所有點的距離的最大值，那麼如何求出這個球心成了問題的關鍵。本文將利用隨機增量算法從二維的情況（最小覆蓋圓）對問題進行深入剖析，從而擴展到三維的情況。首先來看下二維的情況：

2、平面點集的最小覆蓋圓

【例題2】平面上N(N <= 1000000)個點的集合，需要求一個圓，使得它能包含（覆蓋）所有的點，並且半徑最小。要求輸出這個圓的座標和半徑大小。

圖一-2-1

兩者看起來是類似的問題，然而當我們思考空間問題沒有頭緒的時候，往往可以採用降維的思想，將空間問題轉化成平面問題，然後再回到空間問題。那麼，接下來本文將循序漸進，將求解最小覆蓋圓的算法從O(n^4)優化到O(n^3)、再優化到O(n^2)。最後推翻之前的一切引入一個O(n)的算法。

介紹算法之前，首先來看一個概念，也是本文的核心算法，即隨機增量算法。

二、隨機增量算法

1、增量算法

增量算法（Incremental Algorithm）可以參考初中學的數學歸納法去理解。如果你已經熟悉動態規劃，那麼增量法就是動態規劃的簡化版。本質就是將問題劃分爲規模小一層的子問題，然後求解子問題後再計算原問題的解。

2、隨機增量算法

隨機增量算法的核心是一個洗牌算法，即隨機打亂原本序列的順序，如下：

void randomSuffle() {

for(i = 1 to n)

swap(p[i], p[random(1,n)]);

}

然後，按照洗牌後的順序執行固定算法。由於洗牌是純隨機的，所以對於依賴於原序列順序的算法來說，可以很好的規避掉"worst case"。並且可以通過隨機性來計算概率和算法的期望複雜度。接下來就以最小覆蓋圓來介紹隨機增量算法的執行原理。

三、最小覆蓋圓

1、O(n^4)算法

由於三個不共線的點確定一個圓，所以很容易想到一個O(n^4)的算法。

枚舉任意三個不公線點算出對應三角形外接圓的圓心和半徑，然後判斷其它點是否在這個圓內。取所有滿足條件的圓中半徑最小的那個就是所求的最小包圍圓。枚舉三點複雜度O(n^3)，加上一步判斷輪詢O(n)，總的時間複雜度O(n^4)。

當然，這裏漏掉了一種情況，就是有可能這個最小覆蓋圓只經過兩個點。所以還需要枚舉任意兩點爲直徑的圓，判斷其它點是否在其內，這一步是O(n^3)的。所以總的算法複雜度還是O(n^4)。

圖三-1-1

2、O(n^3)算法

對以上思路進行一個優化，我們知道最小覆蓋圓必然至少經過兩個點（除非原點集一共只有一個點）。枚舉任意兩個點作爲最小覆蓋圓的一條弦，那麼圓心必然在兩點的中垂線上，如圖三-2-1。這個覆蓋圓有三種情況：

圖三-2-1

a、圓心爲這兩點的中點（藍色圓）；b、圓心落在弦的左邊（綠色圓）；c、圓心落在弦的右邊（紅色圓）；

圖三-2-2

如圖三-2-2所示，藍色線段XY代表圓上的弦，其餘的點和絃上兩點XY構成夾角（如圖中的∠XAY、∠XBY、∠XCY、∠XDY），夾角的關係爲：圓外角<圓周角<圓內角，所以要覆蓋所有的點，必然要讓這個夾角最小。那麼只要遍歷所有的點，找出夾角最小的這個點，三點確定一個圓。然後再判斷其餘的點是否在這個找到的圓內，枚舉任意一條弦的複雜度O(n^2)，尋找夾角最小的點和判定是否在圓內是分開的操作，複雜度分別爲O(n)，所以總時間複雜度O(n^3)。

3、O(n)算法

最後介紹一個平均期望O(n)的算法。

1）隨機增量法，打亂所有點的順序。

圖三-3-1

2）以第①個點和第②個點爲直徑建立初始圓C，如圖三-3-2所示。然後依次判斷剩下n-2個點是否在這個圓內。

圖三-3-2

如果點p[i]在圓C內(3<=i<=n)，則不做任何處理；否則p[i]必定在前i個點所在最小覆蓋圓的邊界上，求出這個圓後更新C。於是問題轉化成：求前i個點的最小覆蓋圓，並且點p[i]在圓上。

3）以第①個點和第i個點p[i]爲直徑建立初始圓C'。然後依次判斷前i個點是否在這個圓內。

圖三-3-3

如果點p[j]在圓C'內(j < i)，則不做任何處理；否則p[j]必定在前j個點所在最小覆蓋圓的邊界上，求出這個圓後更新C'。於是問題轉化成：求前j個點的最小覆蓋圓，並且點p[i]和點p[j]都在圓上。

4）以第i個點和第j個點爲直徑建立初始圓C''。然後依次判斷前j個點是否在這個圓內。

圖三-3-4

如果點p[k]在圓C''內(k < j)，則不做任何處理；否則用點p[i]、p[j]、p[k]三點確定一個圓更新C''，繼續判斷剩下的點l (k < l < j)。

圖三-3-5

5）然後用C''更新C'，再用C'更新C。就這樣迭代求出包含前i個點的最小包圍圓C。最後來看一下前5個點的最小覆蓋圓。

圖三-3-6

可能這樣講下來有點迷，那麼我們仔細分析一下上述算法。首先該問題有幾個子問題，如圖三-3-7所示，分別爲：

【1】前i個點的最小覆蓋圓；

【2】前i個點的最小覆蓋圓，且點p[i]在該圓邊界上；

【3】前j個點的最小覆蓋圓，且點p[i]和點p[j]在該圓邊界上；

圖三-3-7

這樣把狀態一劃分，問題就變得簡單許多了。自底向上的分析，【3】的情況我們已知圓上兩點，那麼只要再知道一個點就可以直接採用圓心（未知量）到圓邊界點（已知量）距離相等列方程求解二元一次方程組計算得到（即三點確定一個圓），所以枚舉所有前j個點計算半徑最大的那個圓就是【3】問題的解。而【2】的情況是我們已知圓上一點，那麼再枚舉一點就可以轉變成【3】的情況。同樣，【1】的情況是隻要枚舉一點就可以轉變成【2】的情況，自底向上的遞歸求解即可。

最小覆蓋圓參考代碼如下：最小覆蓋圓

4、O(n)算法時間複雜度分析

如果沒有一開始的洗牌算法，考察該算法將會有三個for循環，那麼最壞情況就是每次加入的點都在前i個點組成覆蓋圓的外面，所以算法的最壞時間複雜度還是O(n^3)的。但是一旦順序打亂以後，情況就不同了。

有一條很重要的性質就是：第i個點在前i-1個點所組成的最小覆蓋圓外的概率爲3/i。

證明如下：隨機生成i個點，求出它們的最小覆蓋圓，這個最小覆蓋圓必然是圓上的某3個點確定的（2個點的情況計算得到的概率更小所以不考慮）。那麼最後生成的那個點（第i個點）只要不是那3個點中其中一個，則必然落在圓內；反之在圓外。所以第i個點在前i-1個點組成的最小覆蓋圓外側的概率僅爲3/i。

對於第i個點，只有3/i的概率是需要重新計算前i個點的最小覆蓋圓，其它情況都是pass，所以總的均攤複雜度是O(n)的。

四、最小包圍球

1、O(n)算法

最後我們將上述問題擴展爲三維（如果對最小覆蓋圓算法還沒有完全理解請止步於此）。

算法思路完全參照二維求最小覆蓋圓的情況：

1）隨機增量法，打亂所有點的順序。

2）【前i個點的最小包圍球】以第①個點和第②個點爲直徑，兩點中點爲球心，建立初始球C。然後依次判斷其它點是否在這個球體內，如果點p[i]在球C內(3<=i<=n)，則不做任何處理；否則p[i]必定在前i個點所在最小包圍球的邊界上，求出這個球后更新C。於是問題轉化成：求前i個點的最小包圍球，並且點p[i]在球上。

3）【前i個點的最小包圍球，且經過點 p[i]】以第①個點和第i個點p[i]爲直徑建立初始球C'。然後依次判斷前i個點是否在這個球內。如果點p[j]在球C'內(j < i)，則不做任何處理；否則p[j]必定在前j個點所在最小包圍球的邊界上，求出這個球后更新C'。於是問題轉化成：求前j個點的最小包圍球，並且點p[i]和點p[j]都在球上。

4）【前j個點的最小包圍球，且經過點 p[i]和p[j]】以第①個點、第i個點p[i]、第j個點p[j]三點確定一個空間圓，以這個空間圓的圓心建立初始球C''。然後依次判斷前j個點是否在這個球內。如果點p[k]在球C''內(k < j)，則不做任何處理；否則p[k]必定在前k個點所在最小包圍球的邊界上，求出這個球后更新C''。於是問題轉化成：求前k個點的最小包圍球，並且點p[i]、點p[j]、點p[k]都在球上。

5）【前k個點的最小包圍球，且經過點 p[i]、p[j]、p[k]】以點p[i]、點p[j]、點p[k]三點確定一個空間圓，以這個圓的圓心建立初始球C'''。然後依次判斷前k個點是否在這個球內。如果點p[l]在球C'''內(l < k)，則不做任何處理；否則p[i]、p[j]、p[k]、p[l]四點確定一個球，求出所有這些球中半徑最大的更新C'''。最後用C'''更新C''，用C''更新C'，再用C'更新C。得到前i個點的最小包圍球。

雖然算法描述異常枯燥，但是2、3、4、5其實是類似的步驟，實際實現的時候還是很簡單的。

最小包圍圓參考代碼如下：最小包圍球

最後講一下第5步中三點確定球和四點確定球的計算方式。

2、空間三點外心

空間三點確定的最小包圍球的球心一定是三點外接圓圓心（如圖三-2-1中的O點，三角形ABC在球O的一個徑面上），首先O在平面ABC上，所以我們先要求出平面ABC的表達式。