編程作業三

[算法導論] 編程作業三:矩陣鏈乘法與最大子數組

PB15000105 肖映泰

一、作業任務

1.採⽤用動態規劃算法編程實現矩陣連乘的最優括號化方案，並輸出最優括號化方案

2.採用分治法和貪心算法實現最大子數組

二、算法原理

矩陣鏈乘法

給定n個矩陣的鏈<A1,A2,...,An>$<A_1,A_2,...,A_n>$ ，矩陣的規模爲pi−1×pi(1≤i≤n)$p_{i-1}\times p_i(1\le i\le n)$ ，求完全括號化方案，使得計算乘積A1A2...An$A_1{A}_2...A_n$ 所需要標量乘法的時間最少

步驟1：最優括號化方案的結構特徵

​ 假設AiAi+1...Aj$A_i{A}_{i+1}...A_j$ 的最優括號化方案的割點在Ak$A_k$ 和Ak+1$A_{k+1}$ 之間，那麼子問題分解爲獨立求解AiAi+1...Ak$A_i{A}_{i+1}...A_k$ 的最優括號化方案，與Ak+1Ak+2...Aj$A_{k+1}{A}_{k+2}...A_j$ 的最優括號化方案

步驟2：一個遞歸求解方案

​ 令m[i,j]$m[i,j]$ 表示計算矩陣所需要標量乘法次數的最小值，則可以遞歸定義m[i,j]$m[i,j]$ 如下

m[i,j]={0,i=jmini≤k<jm[i,k]+m[k+1,j]+pi−1pkpj,i<j(3)(4)$$m[i,j]=\{\begin{array}{}\text{(3)}& 0,i=j\text{(4)}& \underset{i\le k<j}{min}m[i,k]+m[k+1,j]+p_{i-1}{p}_k{p}_j,i<j\end{array}$$

​ 令s[i,j]$s[i,j]$ 保存AiAi+1...Aj$A_i{A}_{i+1}...A_j$ 最優括號化方案的分割點位置k

步驟3：計算最優代價

​ 可以證明算法的運行時間爲Ω(n3)$\mathrm{\Omega }(n^3)$

步驟4：構造最優解

​ 利用表格s[i,j]$s[i,j]$ 即可遞歸地輸出最優解

最大子數組

分治法

遞歸求解

A[low...high]$A[low...high]$ 的任何連續子數組A[i,j]$A[i,j]$ 所處的位置必然是一下集中情況之一

∙$\bullet$ 完全位於子數組A[low...mid]$A[low...mid]$ 中

∙$\bullet$ 完全位於子數組A[mid+1…high]中

∙$\bullet$ 跨越了中點

對於第三種情況可以使用O(n)$O(n)$ 的算法FMCS求解

對於前兩種情況，繼續採用分治法遞歸求解

貪心算法

從A[1]開始，M記錄當前子數組的和，Mr記錄從開始至今的最大子數組的和。

一旦M大於Mr，將Mr設置爲M並記錄當前子數組的下標[low,high]$[low,high]$ 。

若M小於0，則將當前子數組置爲0，重新開始。

三、性能分析

正確性驗證

利用書本例子驗證算法的正確性

1.矩陣鏈乘法

調用test.h中的testMCO()函數，得到書本P214頁同樣的輸出

2.最大子數組

分別調用testFMS()和testGreedy()得到與書本P39相同的輸出

性能分析

隨機產生100,200,300大小的數組，範圍在[-100,100)之間，調用時間測試算法，輸出結果

從圖中所得的數據可以粗略估計

MCO：O(n3)$O(n^3)$

分治法：O(nlg2(n))$O(nl{g}_2(n))$

貪心算法：O(n)$O(n)$

四、實驗總結

本次實驗學習到了一些新的c++使用技巧

1.vector表示矩陣

#include <iostream>
#include <vector>
void testVector()
{
    //定義一個row*col的矩陣
    int row=3;
    int col=5;
    //vec是一個向量，其中的元素爲向量，大小爲row，vec.size()==row;
    //vec[0]是一個向量，大小爲col,vec[0].size()==col;
    vector<vector<double> > vec(row,vector<double>(col,0.0));

}

2.返回多個值的方法

//有些時候用參數表返回值會顯得冗餘，可以採用返回指向結構體的指針的方法返回多個值
//這些值被存儲在一個結構體中
//當然也可以將結構體指針作爲參數傳入
struct Result
{
    int left;
    int right;
    double sum;
};

Result* testResult()
{
    Result *result= new Result;//new 之後記得要 delete
    result->left=1;
    result->right=10;
    result->sum=100;
    return result;
}

int main()
{
    Result *result;
    result=testResult();
    delete result;
    return 0;
}

3.產生隨機數

#include <iostream>
#include <vector>
//c++採用的是c的內置函數調用隨機數
#include <stdlib.h>
#include <time.h>

void testRand()
{
    int N=100;//產生100個隨機數
    vector<int> p(N , 0);

    srand((unsigned)time(NULL));//設置隨機種子
    for (int i = 0; i < N ; i++)
    {
        //rand()%(b-a)+a產生[a,b)內的隨機數
        p[i] = rand()%(100-(-100))-100;//[-100,100)內的隨機數
    }
}