8.3 證明吝嗇SAT是NP-完全問題

• 問題描述

  吝嗇SAT問題：給定一組子句（每個子句都是其中文字的析取）和整數k，求一個最多有k個變量爲true的滿足賦值——如果該賦值存在。證明吝嗇SAT問題爲NP完全問題。

• 思路

  證明的方法是用歸約的方法：由已知的NP完全問題歸約到該問題，並證明歸約的過程的時間複雜度爲多項式時間複雜度即可。選取的已知的NP完全問題爲SAT問題，因爲這兩個問題十分相似，差別在於SAT並沒有“最多K個變量”這樣的限制。

• SAT例子

  (a⋃b⋃c)⋂(a⋃b¯)⋂(b⋃c¯)(a¯⋂c)⋂(a¯⋃b¯⋃c¯)
  我們需要做的就是找到a,b,c的取值（true or false）使得該表達式的結果是true

• 過程

  歸約的過程簡單，假設SAT問題有n個變量，則該SAT問題等價於k = n的吝嗇SAT問題。這樣的歸約過程的時間複雜度爲O（1），是多項式時間複雜度。
  如果說吝嗇SAT問題有多項式時間算法，那麼SAT問題也有多項式時間算法。然而SAT問題本身就是NP完全問題，所以吝嗇SAT也是NP完全問題。
  這樣就證明了吝嗇SAT問題爲NP完全問題。

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