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算法導論讀書筆記（7）
快速排序
快速排序是一種原地排序算法，對包含 n 個數的輸入數組，最壞情況運行時間爲 Θ ( n2 )。雖然這個最壞情況運行時間比較差，但快速排序通常是用於排序的最佳的實用選擇。這是因爲其平均性能相當好：期望的運行時間爲 Θ ( n lg n )，且 Θ ( n lg n )記號中隱含的常數因子很小。
像合併排序一樣，快速排序也是基於分治模式的。下面是對一個子數組 A [ p .. r ]排序的分治過程的三個步驟：
- 分解：
- 數組 A [ p .. r ]被劃分成兩個（可能爲空）子數組 A [ p .. q - 1 ]和 A [ q + 1 .. r ]，使得 A [ p .. q - 1 ]中的每一個元素都小於等於 A [ q ]，而且，小於等於 A [ q + 1 .. r ]中的元素。下標 q 也在這個劃分過程中計算。
- 解決：
- 通過遞歸調用快速排序，對子數組 A [ p .. q - 1 ]和 A [ q + 1 .. r ]排序。
- 合併：
- 因爲兩個子數組是就地排序的，將它們合併不需要操作，整個數組 A [ p .. r ]已排序。
下面的過程實現了快速排序：
QUICK-SORT(A, p, r) 1 if p < r 2 q = PARTITION(A, p, r) 3 QUICK-SORT(A, p, q - 1) 4 QUICK-SORT(A, q + 1, r)
快速排序算法的關鍵是 PARTITION 過程，它對子數組 A [ p .. r ]進行就地重排：
PARTITION(A, p, r) 1 x = A[r] 2 i = p - 1 3 for j = p to r - 1 4 if A[j] <= x 5 i = i + 1 6 exchange A[i] with A[j] 7 exchange A[i + 1] with A[r] 8 return i + 1
PARTITION 總是選擇一個 x = A [ r ]作爲 主元 （pivot element），並圍繞它來劃分子數組。在第3行到第6行中循環的每一輪迭代開始時，對於任何數組下標k ，有
- 如果 p <= k <= i ，則 A [ k ] <= x
- 如果 i + 1 <= k <= j - 1，則 A [ k ] > x
- 如果 k = r ，則 A [ k ] = x
下圖總結了這一結構。過程 PARTITION 作用於子數組 A [ p .. r ]後得到四個區域。 A [ p .. i ]中的各個值都小於等於 x ， A [ i + 1 .. j - 1 ]中的值都大於 x ， A[ r ]
= x 。 A [ j .. r - 1 ]中的值可以是任何值。
快速排序的簡單Java實現
private static int partition(int[] array, int p, int r) {
int x = array[r];
int i = p - 1;
for (int j = p; j < r; j++)
if (array[j] < x) {
i++;
AlgorithmUtil.swap(array, i, j);
}
AlgorithmUtil.swap(array, i + 1, r);
return i + 1;
}
/**
* 快速排序
*/
public static void quickSort(int[] array) {
quickSort(array, 0, array.length - 1);
}
private static void quickSort(int[] array, int p, int r) {
if (p < r) {
int q = partition(array, p, r);
quickSort(array, p, q - 1);
quickSort(array, q + 1, r);
}
}
快速排序的性能
快速排序的運行時間與劃分是否對稱有關，而後者又與選擇了哪一個元素來進行劃分有關。如果劃分是對稱的，那麼本算法從漸近意義上來講，就和歸併排序算法一樣快；如果劃分是不對稱的，那麼本算法漸近上就和插入排序一樣慢。
最壞情況劃分
快速排序的最壞情況劃分發生在劃分過程產生的兩個區域分別包含 n - 1個元素和1個0元素的時候。假設算法的每一次遞歸調用都出現了這種不對稱劃分。劃分的時間代價爲 Θ ( n )。對一個大小爲0的數組進行遞歸調用後，返回 T ( 0 ) = Θ ( 1 )，故算法的運行時間爲 T ( n ) = T ( n - 1 ) + Θ ( n )。最終得到解爲 T ( n ) = Θ ( n2 )。
最佳情況劃分
在 PARTITION 過程可能的最平衡劃分中，一個子問題的大小爲 FLOOR（n / 2） ，另一個子問題的大小爲 CEIL(n / 2) - 1。這種情況下，其運行時間的遞歸式爲 T ( n ) <= 2 T ( n / 2 ) + Θ ( n )。該遞歸式的解爲 T ( n )
= O ( n lg n )。
快速排序的隨機化版本
隨機劃分使用 隨機取樣 （random sampling）的隨機化技術，從子數組 A [ p .. r ]中隨機選擇一個元素並與 A [ r ]互換，因爲主元是隨機選擇的，我們期望在平均情況下，對輸入數組的劃分能夠比較對稱。
RANDOMIZED-PARTITION(A, p, r) 1 i = RANDOM(p, r) 2 exchange A[r] with A[i] 3 return PARTITION(A, p, r)
比較排序
之前已經介紹了幾種能在 O ( n lg n )時間內排序 n 個數的算法。比如歸併排序，堆排序和快速排序。這些算法都有一個相同的性質：排序結果中，各元素的次序基於輸入元素間的比較。這類排序算法統稱爲 比較排序 。
在一個比較排序算法中，僅用比較來確定輸入序列< a1 ， a2 ， …， an >的元素間次序。就是說，給定兩個元素 ai 和 aj ，測試 ai < aj ， ai <= aj ， ai =aj ， ai >= aj 或 ai > aj 中的哪一個成立，以確定 ai 和 aj 之間的相對次序。
比較排序可以被抽象地視爲 決策樹 。一棵決策樹是一棵滿二叉樹，表示某排序算法作用於給定輸入所做的所有比較，而控制結構，數據移動等都被忽略了。下圖是插入排序作用於含三個元素的輸入序列上的決策樹。
在決策樹中，對每個內結點都註明 i ： j ，其中1 <= i ， j <= n ， n 是輸入序列中的元素個數。對每個葉結點都註明排列< π ( 1 )， π ( 2 )， …， π （ n ）>。排序算法的執行對應於遍歷一條從樹根到葉結點的路徑。在每個內結點處都要做比較。當到達一個葉結點是，排序算法就確定了順序。要使排序算法能正確地工作，其必要條件是， n 個元素的 n! 中排列中的每一種都要作爲決策樹的一個葉子出現