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算法導論讀書筆記（18）
最長公共子序列
某給定序列的子序列，就是將給定序列中零個或多個元素去掉後得到的結果。其形式化定義如下：給定一個序列 X = < x1 , x2 , … , xm >，另一個序列 Z = < z1 , z2 , … , zk >，如果 Z 滿足如下條件則稱 Z 爲 X 的 子序列 （subsequence），即存在一個嚴格遞增的 X 的下標序列 < i1 , i2 , … , ik >，對所有 j = 1，2，…， k ，滿足 xij = zj 。給定兩個序列 X 和 Y ，如果 Z 既是 X 的子序列，也是 Y 的子序列，則稱它是 X 和 Y 的 公共子序列 。
最長公共子序列問題 （longest-common-subsequence problem）就是給定兩個序列 X = < x1 , x2 , … , xm >和 Y = < y1 , y2 , … , yn >，求 X 和 Y 長度最長的公共子序列。簡稱LCS問題。下面將展示如何用動態規劃方法高效求解LCS問題。
步驟1：描述最長公共子序列的特徵
LCS問題符合最優子結構的性質。可以看到，子問題的自然分類對應兩個輸入序列的“前綴”對。前綴的嚴格定義如下：給定一個序列 X = < x1 , x2 , … , xm>，對 i = 0，1，…， m ，定義 X 的第 i 前綴爲 Xi = < x1 , x2 , … , xi >， X0 爲空串。
定理 （LCS的最優子結構）
令 X = < x1 , x2 , … , xm >和 Y = < y1 , y2 , … , yn >爲兩個序列， Z = < z1 , z2 ,
… , zk >爲 X 和 Y 的任意LCS。
1. 如果 xm = yn ，則 zk = xm = yn 且 Zk-1 是 Xm-1 和 Yn-1 的一個LCS。
2. 如果 xm ≠ yn ，那麼 zk ≠ xm 意味着 Z 是 Xm-1 和 Y 的一個LCS。
3. 如果 xm ≠ yn ，那麼 zk ≠ yn 意味着 Z 是 X 和 Yn-1 的一個LCS。
上面的定理說明兩個序列的LCS包含兩個序列的前綴的LCS。因此，LCS問題滿足最優子結構性質。
步驟2：一個遞歸解
由定理可知，在求 X = < x1 , x2 , … , xm >和 Y = < y1 , y2 , … , yn >的一個LCS時，我們需要求解一個或兩個子問題。如果 xm = yn ，我們應該求解 Xm-1和 Yn-1 的一個LCS。然後將 xm = yn 追加到這個LCS的末尾，就得到 X 和 Y 的一個LCS。如果 xm ≠ yn ，我們必須求解兩個子問題：求 Xm-1 和 Y 的一個LCS與 X 和 Yn-1 的一個LCS。兩個LCS中長的那個即爲 X 和 Y 的一個LCS。
可以很容易看出LCS中的重疊子問題。爲了求 X 和 Y 的一個LCS，我們可能需要求 X 和 Yn-1 的一個LCS以及 Xm-1 和 Y 的一個LCS。這幾個子問題都包含求解 Xm-1 和 Yn-1 的LCS的子子問題。
設計LCS問題的遞歸算法還要建立最優解的遞歸式。令 c [ i , j ]表示 Xi 和 Yj 的LCS的長度。如果 i = 0或 j = 0，即一個序列長度爲0，那麼LCS的長度爲0。根據LCS問題的最優子結構性質，可知：
步驟3：計算LCS的長度
過程 LCS-LENGTH 接受兩個序列 X = < x1 , x2 , … , xm >和 Y = < y1 , y2 , … , yn >爲輸入。它將 c [ i , j ]的值保存在表 c [
0 .. m , 0 .. n ]，並按 行主次序（row-major order）計算表項（即首先由左至右計算 c 的第一行，然後第二行，依此類推）。過程還維護一個表 b [ 1 .. m , 1 .. n ]幫助構造最優解。 b [ i ,j ]指向的表項對應計算 c [ i , j ]時所選擇的子問題的最優解。過程返回表 b 和表 c ， c [ m , n ]保存了 X 和 Y 的LCS的長度。
LCS-LENGTH(X, Y) 1 m = X.length 2 n = Y.length 3 let b[1..m, 1..n] and c[0..m, 0..n] be new tables 4 for i = 1 to n 5 c[i, 0] = 0 6 for j = 0 to n 7 c[0, j] = 0 8 for i = 1 to m 9 for j = 1 to n 10 if x_i == y_j 11 c[i, j] = c[i - 1, j - 1] + 1 12 b[i, j] = "↖" 13 elseif c[i - 1, j] >= c[i, j - 1] 14 c[i, j] = c[i - 1, j] 15 b[i, j] = "↑" 16 else 17 c[i, j] = c[i, j - 1] 18 b[i, j] = "←" 19 return c and b
下圖顯示了 LCS-LENGTH 對輸入序列 X = < A , B , C , B , D , A , B >和 Y = < B , D , C , A , B , A >生成的結果。過程的運行時間爲 Θ ( mn )，因爲每個表項的計算時間爲 Θ (
1 )。
步驟4：構造LCS
現在可以用 LCS-LENGTH 返回的表 b 快速構造 X = < x1 , x2 , … , xm >和 Y = < y1 , y2 , … , yn >的LCS。
PRINT-LCS(b, X, i, j) 1 if i == 0 or j == 0 2 return 3 if b[i, j] == "↖" 4 PRINT-LCS(b, X, i - 1, j - 1) 5 print x_i 6 elseif b[i, j] == "↑" 7 PRINT-LCS(b, X, i - 1, j) 8 else 9 PRINT-LCS(b, X, i, j - 1)
LCS問題的簡單Java實現
參考自http://www.cs.cityu.edu.hk/~lwang/cs5302/LCS.java
private static int[][] lcsLength(String x, String y) {
int m = x.length();
int n = y.length();
int[][] b = new int[m + 1][n + 1];
int[][] c = new int[m + 1][n + 1];
for (int i = 0; i < n; i++)
c[i][0] = 0;
for (int j = 0; j < m; j++)
c[0][j] = 0;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (x.charAt(i - 1) == y.charAt(j - 1)) {
c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;
b[i][j] = DIAGONAL;
} else if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1]) {
c[i][j] = c[i - 1][j];
b[i][j] = UP;
} else {
c[i][j] = c[i][j - 1];
b[i][j] = FORWARD;
}
}
}
return b;
}
public static String getLCS(String x, String y) {
int[][] b = lcsLength(x, y);
String lcs = "";
int i = x.length();
int j = y.length();
while (i != 0 && j != 0) {
if (b[i][j] == DIAGONAL) {
lcs = x.charAt(i - 1) + lcs;
i = i - 1;
j = j - 1;
}
if (b[i][j] == UP) {
i = i - 1;
}
if (b[i][j] == FORWARD) {
j = j - 1;
}
}
return lcs;
}
private static final int DIAGONAL = 1;
private static final int UP = 2;
private static final int FORWARD = 3;