本專題的內容是樹，是一種區別於線性表的另一種邏輯的數據結構，它作爲數據結構中最重要的部分之一，我們有必要熟練理解並掌握樹的相關概念及應用。本章作爲本專題第一章節，主要介紹樹的一些定義以及二叉樹的定義和重要性質，二叉樹作爲及其重要的數據結構，內容及其變形應用是相當複雜的，我們計算機專業的有相當一部分人都會在數據結構考試的時候“掛在樹上”，不過不要擔心，從簡單的性質學起，循序漸進地搞定它們。進入主題，樹與二叉樹。
樹
定義
樹（tree）是包含n（n>0）個結點的有窮集，其中：（1）每個元素稱爲結點（node）；
（2）有一個特定的結點被稱爲根結點或樹根（root）。
（3）除根結點之外的其餘數據元素被分爲m（m≥0）個互不相交的集合T1，T2，……Tm-1，其中每一個集合Ti（1<=i<=m）本身也是一棵樹，被稱作原樹的子樹（subtree）。
樹也可以這樣定義：樹是由根結點和若干顆子樹構成的。樹是由一個集合以及在該集合上定義的一種關係構成的。集合中的元素稱爲樹的結點，所定義的關係稱爲父子關係。父子關係在樹的結點之間建立了一個層次結構。在這種層次結構中有一個結點具有特殊的地位，這個結點稱爲該樹的根結點，或稱爲樹根。
我們可以形式地給出樹的遞歸定義如下:
單個結點是一棵樹，樹根就是該結點本身。
設T1,T2,..,Tk是樹，它們的根結點分別爲n1,n2,..,nk。用一個新結點n作爲n1,n2,..,nk的父親，則得到一棵新樹，結點n就是新樹的根。我們稱n1,n2,..,nk爲一組兄弟結點，它們都是結點n的子結點。我們還稱T1,T2,..,Tk爲結點n的子樹。
空集合也是樹，稱爲空樹。空樹中沒有結點。
如上圖所示，黑色的是樹形結構，粉色框起來的部分是整棵樹，箭頭所指是整棵樹根結點，它的每一個子節點都可以作爲它子樹的根，如圖，藍色和橙色是粉色的子樹，綠色是藍色的子樹。
相關術語
結點的度：一個結點含有的子結點的個數稱爲該結點的度；
葉結點或終端結點：度爲0的結點稱爲葉結點；
非終端結點或分支結點：度不爲0的結點；
雙親結點或父結點：若一個結點含有子結點，則這個結點稱爲其子結點的父結點；
孩子結點或子結點：一個結點含有的子樹的根結點稱爲該結點的子結點；
兄弟結點：具有相同父節點的結點互稱爲兄弟結點；
樹的度：一棵樹中，最大的結點的度稱爲樹的度；
節點的層次：從根開始定義起，根爲第1層，根的子節點爲第2層，以此類推；
樹的高度或深度：樹中結點的最大層次；
堂兄弟結點：雙親在同一層的結點互爲堂兄弟；
節點的祖先：從根到該結點所經分支上的所有結點
子孫：以某結點爲根的子樹中任一結點都稱爲該結點的子孫。
森林：由m（m>=0）棵互不相交的樹的集合稱爲森林；
二叉樹
定義
與樹的區別
1. 樹對於結點的度沒有限制，而二叉樹每個結點的度最大爲2。
2. 樹的結點可以無序，但二叉樹結點有左右之分。
完全二叉樹
我們不難發現，對於二叉樹來說，每一層都有最大結點數量，比如第2層最多2個結點，第3層最多4個，第4層最多8個，第i層最多2i-1個。
完全二叉樹的定義，就是假設樹的高度爲h，則除了第h層以外，每一層都達到了最大結點數，並且第h層的結點都是從左到右依次排列的，如圖所示，除了(a)，其他都不是完全二叉樹：
滿二叉樹
滿二叉樹是完全二叉樹的特殊情況，顧名思義就是對於高度爲h的二叉樹，每一層都“滿了”，都達到了最大結點數量，如下圖就是一棵滿二叉樹，當然，它也是完全二叉樹：
二叉樹的基本性質
1. 在非空二叉樹中，第i層的結點總數不超過2i-1 ,i>=1；
2. 深度爲h的二叉樹最多有2h-1個結點(h>=1)，最少有h個結點；
3. 對於任意一棵二叉樹，如果其葉結點數爲N0，而度數爲2的結點總數爲N2，則N0=N2+1；
4. 具有n個結點的完全二叉樹的深度爲log2(n+1)
5. 有N個結點的完全二叉樹各結點如果用順序方式存儲，則結點之間有如下關係：
若I爲結點編號則 如果I>1，則其父結點的編號爲I/2；
(1) 如果2*I<=N，則其左兒子（即左子樹的根結點）的編號爲2*I；若2*I>N，則無左兒子；
(2) 如果2*I+1<=N，則其右兒子的結點編號爲2*I+1；若2*I+1>N，則無右兒子。
6. 給定N個節點，能構成h(N)種不同的二叉樹。h(N)爲卡特蘭數的第N項。h(n)=C(2*n，n)/(n+1)。
7. 設有i個枝點，I爲所有枝點的道路長度總和，J爲葉的道路長度總和J=I+2i[4]
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