AVL樹的定義和基本操作

AVL樹是帶有平衡的二叉查找樹！一顆AVL樹的每一個結點的左子樹和右子樹的深度最多隻有1的差距，這就保持了這顆二叉樹的平衡！很大程度的提高了樹的使用效率！

當我們對樹進行一系列操作（插入、刪除等）後，AVL樹很可能就不能保持AVL的特性，所以在進行操作時，我們必須重新平衡這顆二叉樹！

我們把必須重新平衡的結點叫做α（這樣可以減少很多文字，又好理解），由於任意結點最多隻有兩個兒子，因此出現高度不平衡就需要α點的兩個子結點高度差大於等於2。

如意看出，這種不平衡可能出現下面四種情況：

1、對α的左子樹的左子樹進行插入；

2、對α的左子樹的右子樹進行插入；

3、對α的右子樹的右子樹進行插入；

4、對α的右子樹的左孩子進行插入。

1、3的情況是比較簡單的，進行一次旋轉就能完成平衡，而2、4的情況就比較複雜了，需要兩次旋轉！

我先定義一個AVL數的結點結構，只比查找樹多一個屬性：深度

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

/*結點數據域類型定義*/
typedef int ElemType;

/*AVL樹的結點聲明*/
typedef struct _AVLTNode
{
		ElemType data;
		struct _AVLTNode * lchild;
		struct _AVLTNode * rchild;
		int height;		/*深度*/
}AVLTNode,*AVLTree;

還需要一個輔助的函數，幫助獲取這個深度

/*獲取樹的高度*/
static int Height(AVLTree T)
{
	if(!T)
	{
		return -1;
	}
	else
	{
		return T->height;
	}
}

這時候就對樹進行插入操作，即創建二叉樹，又可以插入！比較容易，就是幾個函數的調用：

/*AVL書中插入結點，插入完畢後樹依然保持AVL特性*/
AVLTree AVL_Insert(AVLTree * T, ElemType e)
{
	if (*T == NULL)			//如果空樹，就構造一顆根結點
	{
		*T = (AVLTree)malloc(sizeof(AVLTNode));
		if(!*T)
		{
			return NULL;
		}

		(*T)->data = e;
		(*T)->lchild = NULL;
		(*T)->rchild = NULL;
		(*T)->height = 0;		//初始化深度爲0；
	} 
	else if(e < (*T)->data)			//左邊
	{
		(*T)->lchild =AVL_Insert(&(*T)->lchild,e);			//遞歸左子樹插入

		if (Height((*T)->lchild) - Height((*T)->rchild) == 2)			//判斷左子樹和右子樹的深度差爲2 說明AVL特性被破壞，需要進行平衡
		{
			if (e < (*T)->lchild->data)				//屬於 上面四種情況中的第一個，只需要一次旋轉
			{
				*T = SingleRotateLeft(*T);
			} 
			else
			{
				*T = DoubleRotateLeft(*T);		//第二個情況 雙旋轉
			}
		}
	}
	else if(e > (*T)->data)			//反之 右面，操作和左面相反而已
	{
		(*T)->rchild =AVL_Insert(&(*T)->rchild,e);
		if (Height((*T)->rchild) - Height((*T)->lchild) == 2)
		{
			if (e > (*T)->rchild->data)
			{
				*T = SingleRotateRight(*T);
			}
			else
			{
				*T = DoubleRotateRight(*T);
			}
		}
	}

	(*T)->height = Max(Height((*T)->rchild),Height((*T)->lchild))+1;		//深度加1
	return *T;
}

然後我把四種情況的看書寫出來：

/*AVL樹左單旋轉*/
static AVLTree SingleRotateLeft(AVLTree k1)
{
	AVLTree k2;

	k2 = k1->lchild;
	k1->lchild = k2->rchild;
	k2->rchild = k1;

	k1->height =  Max(Height(k1->rchild),Height(k1->lchild))+1;
	k2->height =  Max(Height(k2->rchild),Height(k2->lchild))+1;
	return k2;
}

/*AVL樹右單旋轉*/
static AVLTree SingleRotateRight(AVLTree k1)
{
	AVLTree k2;

	k2 = k1->rchild;
	k1->rchild = k2->lchild;
	k2->lchild = k1;

	k1->height =  Max(Height(k1->rchild),Height(k1->lchild))+1;
	k2->height =  Max(Height(k2->rchild),Height(k2->lchild))+1;
	return k2;
}

/*AVL樹左雙旋轉*/
static AVLTree DoubleRotateLeft(AVLTree k1)
{
	k1 = SingleRotateRight(k1->lchild);
	return SingleRotateLeft(k1);
}

/*AVL樹右雙旋轉*/
static AVLTree DoubleRotateRight(AVLTree k1)
{
	k1 = SingleRotateLeft(k1->rchild);
	return SingleRotateRight(k1);
}

其實就是幾個指針之間的幾個操作，比之前的鏈表的哪些操作簡單多了，初學者最好的方法就是畫圖，根據圖分析這四種情況，一目瞭然！

這裏還需要了一個Max函數，我就不貼出來了，就是比較兩個數，返回較大的數。寫不出來去小學深造去吧！

我用前序遍歷和中序遍歷做一下測試，從1打到15，順序輸入，看看輸出是什麼情況：

int main()
{
	AVLTree T = NULL;
	int i=0;
	for (i=1;i<16;i++)
	{
		AVL_Insert(&T,i);
	}

	PreOrderTraverse(T);
	printf("\n\n");
	InOrderTraverse(T);
	getchar();
	getchar();
	return 0;
}

結果如下：

第一排是前序遍歷結果，第二排是中序遍歷！！！！！剛好是一顆3層的滿二叉樹！

我再倒着15到1輸入看看結果是不是一樣：

int main()
{
	AVLTree T = NULL;
	int i=0;
	for (i=15;i>=1;i--)
	{
		AVL_Insert(&T,i);
	}

	PreOrderTraverse(T);
	printf("\n\n");
	InOrderTraverse(T);
	getchar();
	getchar();
	return 0;
}

結果一樣：