指數(連乘)的快捷求法

平常我們用代碼求指數，一般是利用循環實現，例如

求2^10，用C語言可以寫爲：

int result=1;
for(i=0;i<10;i++){
    result*=2;
}

但是，當指數非常大時，用這種循環無疑會非常慢，例如
求2^10000000000(10個0)，需要循環2^10000000000(10個0)次，無疑非常浪費時間，尤其在做ACM題目時，時間有限，往往無法達標。
怎麼辦？我們看下快速求指數(連乘)的原理。
以2^7爲例：(爲了方便看，把乘號省略)
2^7：2 2 2 2 2 2 2 ，總共需要6次乘法運算

2^7：2 2 2|2 2 2|2，(2^3)*(2^3) *2，而2^3需要2次連乘，因此總共需要4次乘法運算(沒看懂的看接下來的註釋，看懂的自覺跳過)
=====================上一步的註釋===========================
2^3：2*2*2，需要2次乘法運算，通過這兩次乘法運算得出2^3的結果
(2^3)*(2^3)，由於2^3結果已知，因此是自乘運算(等效於result*=result;)，算1次乘法運算
(2^3)*(2^3) *2，最後再乘以2，因此總共有4次乘法運算

=====================註釋結束==============================

再以2^8爲例：

2^2：2|2，(2^1)*(2^1)，2*2一次運算求出2^2

2^4：2 2|2 2，(2^2)*(2^2)，再一次自乘由2^2求出2^4

2^8：2 2 2 2|2 2 2 2 ，(2^4)*(2^4)，再一次自乘由2^4求出2^8

因此快速指數需要3次乘法運算即可。

發現規律了沒？
採用二分的思想，每次拿次方數除2，直到商爲1終止，把餘數和2分次數加起來就可以了

再以2^7爲例點明規律
2^7：2 2 2|2 2 2|2，把指數7二分(7個2相乘)，7/2=3（分爲兩個2^3相乘），7%2=1（餘1個2）
2^3：2|2|2，把3均分，3/2=1（兩個2^1相乘），3%2=1（餘1個2）

2^1已經不能再分(此時3/2=1，即商爲1時終止)，因此：
指數/2=1是劃分結束標誌
總的乘法運算次數=劃分次數(2)+餘數次數(1)

再以一道ACM題輔助理解：

描述

給你一個非零整數，讓你求這個數的n次方，每次相乘的結果可以在後面使用，求至少需要多少次乘。如2⁴：2*2=2²（第一次乘），2²*2²=2⁴（第二次乘），所以最少共2次；             

輸入

第一行m表示有m(1<=m<=100)組測試數據；
每一組測試數據有一整數n（0<n<=10000）;

輸出

輸出每組測試數據所需次數s;

樣例輸入

3

2

3

4

樣例輸出

1

2

2

我用的是二分的方法。每次拿次方數除2，直到商爲1終止，把餘數和2分次數加起來就可以了。例如：7次
原始：2 2 2 2 2 2 2 
1次：2 2 2 | 2 2 2 | 2 （分了1次，餘1，第二次二分只需要取3次方，7/2=3）；
2次：2 |2| 2（又分了1次，餘1，此時3/2=1，商爲1，不用再二分了）
則共分了2次，兩次餘1，則2+2=4，需要分4次。
同理8次方分3次

代碼如下：

#include <stdio.h>

int main(){
<span style="white-space:pre">	</span>int length;
<span style="white-space:pre">	</span>int getnum;//輸入的次方<pre name="code" class="cpp">int mul(long num){//連乘的快捷算法
    unsigned long long temp;
    if(num==1)
        return 2;
    temp=mul(num/2);//遞歸調用
    temp=temp*temp*((num%2)?2:1); 
    if(temp>1000000)//題目只要求後6位數 
        temp%=1000000; 
    return temp;
}

int time=0;//記錄2分次數 int remainder=0;//餘數不爲0的次數 scanf("%d",&length); for(;length>0;length--){ scanf("%d",&getnum); while(getnum!=1){ if(getnum%2) remainder++; time++; getnum/=2; } printf("%d\n",time+remainder); time=0; remainder=0; }}

=====================================================================原理解釋到這，怎麼運用呢？以代碼展示：

<span style="font-size:18px;">int mul(long num){//連乘的快捷算法，求2^num
    unsigned long long temp;
    if(num==1)//遞歸結束條件，1個2相乘，即2^1，上一個指數/2=1的結果
        return 2;
    temp=mul(num/2);//遞歸調用
    temp=temp*temp*((num%2)?2:1); 
    return temp;
}</span>

由於每一次都是對指數按同樣原理劃分，以指數/2=1結束，因此採用遞歸的形式
精華在於

<span style="font-size:18px;">temp=temp*temp*((num%2)?2:1); //有餘數：(temp^2)*2，無餘數</span><span style="font-size: 18px; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">(temp^2)*1</span>

((num%2)?2:1)是對餘數的判斷，當num%2==1時，乘以1次餘下的2，當num%2==0時，使用1，即不變