主成分分析（PCA）

定义

PCA的思想是将n维特征映射到k维上（k

背景

在机器学习过程中，第一步就是数据的处理。在大多数机器学习课程中，为了简化理解，前几节课都是只选取1~2个特征量。如此则引出问题，如果特征量多的话怎么办。在分析回归问题时，引入梯度下降法，该方法对于n个特征均成立。同时也发现，可以用矩阵的方式解出theta的值。不过强调了 **特征矩阵X的转制矩阵（XT ）与特征矩阵X的乘积要可逆。（当然利用Octave，即使不可逆，也能求出解，不过理论上不成立）

数学知识

在此引入一个数学问题，一个矩阵A什么时候不可逆，简单来说，就是矩阵的秩小于矩阵的行数。也就是说至少存在两个变量是线性相关的。举例，如果以“米”为单位计算长度，和以“厘米”为单位计算长度做特征，两个特征之间有线性关系，一定要除掉一个特征。
如果两个特征关系越强，就越不独立，两者相互影响就越强，既其协方差越大。因为特征不止一个，所以我们求得是一个协方差矩阵，和“特征向量”。

直观理解

如图所示这是一个2维的分布图，我们发现在V1 方向上数据分布的比较分散，在V2 方向上分布的比较集中，当最极端时，V2 方向上只存在一个点，此时2维分布变为1维分布。降维成功。V1 方向就是协方差矩阵的特征向量。

总结流程

1. 得到数据
2. 去中心化
3. 求协方差矩阵
4. 求特征值及特征向量
5. 定阈值，取前K个特征值。
6. 向特征向量投影