前言：
“如果你會了樹上dp，還會線段樹……”
“沒錯！我都會啊！”
“……那你爲什麼寫不出樹鏈剖分？”
“？？？”
——by勇者和路由器的對話，今天二位仍然過得十分愉快
問題引入
BZOJ1036：[ZJOI2008]樹的統計
題目描述
一棵樹上有n個節點，編號分別爲1到n，每個節點都有一個權值w。
我們將以下面的形式來要求你對這棵樹完成一些操作：
I. CHANGE u t : 把結點u的權值改爲t
II. QMAX u v: 詢問從點u到點v的路徑上的節點的最大權值
III. QSUM u v: 詢問從點u到點v的路徑上的節點的權值和
注意：從點u到點v的路徑上的節點包括u和v本身
輸入格式：
輸入文件的第一行爲一個整數n，表示節點的個數。
接下來n – 1行，每行2個整數a和b，表示節點a和節點b之間有一條邊相連。
接下來一行n個整數，第i個整數wi表示節點i的權值。
接下來1行，爲一個整數q，表示操作的總數。
接下來q行，每行一個操作，以“CHANGE u t”或者“QMAX u v”或者“QSUM u v”的形式給出。
輸出格式：
對於每個“QMAX”或者“QSUM”的操作，每行輸出一個整數表示要求輸出的結果。
輸入樣例：
4
1 2
2 3
4 1
4 2 1 3
12
QMAX 3 4
QMAX 3 3
QMAX 3 2
QMAX 2 3
QSUM 3 4
QSUM 2 1
CHANGE 1 5
QMAX 3 4
CHANGE 3 6
QMAX 3 4
QMAX 2 4
QSUM 3 4
輸出樣例：
4
1
2
2
10
6
5
6
5
16
說明
對於100％的數據，保證1<=n<=30000，0<=q<=200000；中途操作中保證每個節點的權值w在-30000到30000之間。
思考：
我們發現題中要求的內容類似於線段樹：單點修改，區間詢問。
但是，這是一棵樹啊！我們怎麼才能在樹上建一個只適用於一維的數據結構呢？
我們要拋棄線段樹嗎？
……
那麼我們要試圖把樹拍扁成一維的嗎？
……只能這樣了。
其實拍扁成一維並不難想，考慮當樹爲一條鏈的時候嗎，我們就直接上線段樹即可。
那麼類比一棵完整的樹時，我們就把它分解成一條一條鏈然後拼在一起線段樹維護即可。
關鍵問題在於要如何分解成鏈才能使得我們查詢既快捷又方便呢？
這裏當然就是樹鏈剖分的活啦！
樹鏈剖分：
概念：
定義size(X)爲以X爲根的子樹的節點個數。 ž令V爲U的兒子節點中size值最大的節點，那麼邊(U,V)被稱爲重邊，樹中重邊之外的邊被稱爲輕邊。
我們稱某條路徑爲重路徑，當且僅當它全部由重邊組成。
性質：
性質 1:輕邊(U,V)，size(V)<=size(U)/2。
ž性質 2:從根到某一點的路徑上，不超過O(logN)條輕邊，不超過O(logN)條重路徑。
對於性質1，我們肉眼觀察法和反證法都能解決。
對於性質2就不是那麼明顯了，我們來證明一下：
由性質1可知，每經過一條輕邊，子樹的節點個數至少減少一半，所以至多經過 O (log n ) 條輕邊。
而進入（或從……出去）一條重路徑，一定需要經過一條輕邊，所以至多經過 O (log n ) 條重路徑。
有了以上兩個性質之後，我們就可以發現這種分法的優越性了，我們僅僅只需要搜大概logn級別即可。
細節：
預處理：
我們具體需要求出7個值，分別爲：
對於節點u：
父親fa;
深度dep;
子樹節點數size（又叫重量）;
重兒子son;
所在重路徑的頂部節點top;
在序列的位置pos（下標）。
對於序列的一個下標：
對應樹的位置idx。
前四個樸素dfs即可解決，後三個根據節點的重兒子再dfs即可解決。
注意：我們的目的是爲了將樹分解成重路徑，所以第二次dfs建序列的時候要先加重兒子再管其他節點。
求值：
我們將u到v的路徑分解成:
當u與v不在同一個重路徑時：
u所在的部分重路徑+top[u]到top[v]+v所在的部分重路徑。
當u與v在同一個重路徑時（顯然不需要分解）
按照上面的方法遞歸併且不斷求出這些段的值完後彙總即可。
那麼我們就想先跳u爲top[u]還是跳v爲top[v]——方法就是，爲了防止跳大了，跳得越少越好（比較top[u]和top[v]的dep即可）。
代碼：
例題代碼如下：
//luogu2590
//ZJOI2008樹的統計
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=30001;
const int INF=2147483647;
inline int read(){
int X=0,w=0;char ch=0;
while(ch<'0'||ch>'9'){w|=ch=='-';ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9')X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();
return w?-X:X;
}
struct node{
int to;
int nxt;
}edge[2*N];
int head[N],cnt=0,n;
inline void add(int u,int v){
cnt++;
edge[cnt].to=v;
edge[cnt].nxt=head[u];
head[u]=cnt;
return;
}
int fa[N],dep[N],size[N],son[N],top[N],pos[N],idx[N];
//依次爲u的父親,深度,重量,重兒子,重路徑頂端,映射,反映射
int val[N],sum[N*4],maxn[N*4];
//依次爲u的點權,區間和,區間最大值
void dfs1(int u){//處理fa,dep,size,son
size[u]=1;
for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt){
int v=edge[i].to;
if(v==fa[u])continue;
fa[v]=u;dep[v]=dep[u]+1;
dfs1(v);
size[u]+=size[v];
if(!son[u]||size[v]>size[son[u]])son[u]=v;//計算重兒子
}
return;
}
int tot;
void dfs2(int u,int anc){//處理top,pos,idx
tot++;
pos[u]=tot;
idx[tot]=u;
top[u]=anc;
if(!son[u])return;//到葉子了
dfs2(son[u],anc);//重路徑上的點要在一段連續區間內所以先走重兒子
for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt){
int v=edge[i].to;
if(v==fa[u]||v==son[u])continue;
dfs2(v,v);//輕鏈top(anc)爲自己
}
return;
}
void build(int a,int l,int r){//線段樹建樹
if(l==r){
sum[a]=maxn[a]=val[idx[l]];
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(a*2,l,mid);
build(a*2+1,mid+1,r);
sum[a]=sum[a*2]+sum[a*2+1];
maxn[a]=max(maxn[a*2],maxn[a*2+1]);
return;
}
int querysum(int a,int l,int r,int l1,int r1){//線段樹區間和
if(r1<l||l1>r)return 0;
if(l1<=l&&r<=r1)return sum[a];
int mid=(l+r)>>1;
return querysum(a*2,l,mid,l1,r1)+querysum(a*2+1,mid+1,r,l1,r1);
}
int querymax(int a,int l,int r,int l1,int r1){//線段樹區間最大值
if(r1<l||l1>r)return -INF;
if(l1<=l&&r<=r1)return maxn[a];
int mid=(l+r)>>1;
return max(querymax(a*2,l,mid,l1,r1),querymax(a*2+1,mid+1,r,l1,r1));
}
void modify(int a,int l,int r,int p,int v){//線段樹改值
if(p<l||r<p)return;
if(l==r){
sum[a]=maxn[a]=v;
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
modify(a*2,l,mid,p,v);
modify(a*2+1,mid+1,r,p,v);
sum[a]=sum[a*2]+sum[a*2+1];
maxn[a]=max(maxn[a*2],maxn[a*2+1]);
return;
}
int pathsum(int u,int v){//詢問(u,v)這條路徑的和
if(top[u]!=top[v]){//不在同一條重鏈
if(dep[top[u]]<dep[top[v]]){int t=u;u=v;v=t;}//一次爬少些，防止爬太大從而搜點搜多了
return pathsum(fa[top[u]],v)+querysum(1,1,n,pos[top[u]],pos[u]);//爬掉一整個重路徑
}
if(dep[u]>dep[v]){int t=u;u=v;v=t;}
return querysum(1,1,n,pos[u],pos[v]);//一條重路徑上一段
//此時u是深度較小的那個點,也就是原路徑的LCA
}
int pathmax(int u,int v){//詢問(u,v)這條路徑的最大值,代碼含義基本同上
if(top[u]!=top[v]){
if(dep[top[u]]<dep[top[v]]){int t=u;u=v;v=t;}
return max(pathmax(fa[top[u]],v),querymax(1,1,n,pos[top[u]],pos[u]));
}
if(dep[u]>dep[v]){int t=u;u=v;v=t;}
return querymax(1,1,n,pos[u],pos[v]);
}
void init(){//初始化
dep[1]=fa[1]=1;
dfs1(1);
top[1]=idx[1]=pos[1]=1;
tot=0;
dfs2(1,1);
return;
}
int main(){
n=read();
for(int i=2;i<=n;i++){
int u=read();
int v=read();
add(u,v);
add(v,u);
}
for(int i=1;i<=n;i++)val[i]=read();
init();
build(1,1,n);
int q=read();
while(q--){
char op[6];
scanf("%s",op);
int u=read();
int v=read();
if(op[0]=='C')modify(1,1,n,pos[u],v);
else if(op[1]=='S')printf("%d\n",pathsum(u,v));
else printf("%d\n",pathmax(u,v));
}
return 0;
}