模板：快速傅里葉變換（FFT）

參考：http://blog.csdn.net/f_zyj/article/details/76037583
原文即是一篇很好的FFT入門博客，但是筆者打算爲了日後的學習，則將原篇章的結構刪改增添一下，如有思路上的雷同十分正常。
“是時候打開FFT的大門了！”

預備知識：

1.至少知道基礎數論與一定解三角形知識（大概是高中水平）。
2.定義i=−1−−−√$i=\sqrt{-1}$
3.引入複數（即形如a+bi$a+bi$ （a,b均爲實數）的數的集合）
4.(cosθ+i×sinθ)k=cos(kθ)+i×sin(kθ)$(cos\theta +i\times sin\theta {)}^k=cos(k\theta )+i\times sin(k\theta )$
5.顯然我們對多項式FFT之後得到的答案不是我們想要的，那麼這時候就需要反着用FFT把式子再變回去（本文記做IFFT）。

這裏證明一下第四條，用歸納法。
顯然當k=1$k=1$ 時成立。
當k$k$ 成立時，我們有：
(cosθ+i×sinθ)k+1$(cos\theta +i\times sin\theta {)}^{k+1}$
=(cosθ+i×sinθ)k×(cosθ+i×sinθ)$=(cos\theta +i\times sin\theta {)}^k\times (cos\theta +i\times sin\theta )$
=(cos(kθ)+i×sin(kθ))×(cosθ+i×sinθ)$=(cos(k\theta )+i\times sin(k\theta ))\times (cos\theta +i\times sin\theta )$
=cos(kθ)cosθ+i×sin(kθ)cosθ+i×cos(kθ)sinθ+i2×sin(kθ)sinθ$=cos(k\theta )cos\theta +i\times sin(k\theta )cos\theta +i\times cos(k\theta )sin\theta +i^2\times sin(k\theta )sin\theta$
=cos(kθ)cosθ−sin(kθ)sinθ+i×(sin(kθ)cosθ+cos(kθ)sinθ)$=cos(k\theta )cos\theta -sin(k\theta )sin\theta +i\times (sin(k\theta )cos\theta +cos(k\theta )sin\theta )$
=cos((k+1)θ)+i×sin((k+1)θ)$=cos((k+1)\theta )+i\times sin((k+1)\theta )$
得證。

問題引入：

設A(x)=∑n−1i=0aixi,B(x)=∑n−1i=0bixi$A(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i{x}^i,B(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{b}_i{x}^i$ ，求A(x)×B(x)$A(x)\times B(x)$ 後的多項式係數。

初探：

顯然我們有一個O(n2)$O(n^2)$ 的解法，但是實在是太慢了。
考慮到一個n−1$n-1$ 次多項式可以看做是定義在複數域上的函數，則我們一定可以找到n個點來唯一確定這個函數。
當然我們也可以通過這些點來表示這個多項式。
假設：
A(x)$A(x)$ 被表示爲：<(x0,ya0),(x1,ya1),…,(x2n−2,ya2n−2)>$<(x_0,y_{a_0}),(x_1,y_{a_1}),\dots ,(x_{2n-2},y_{a_{2n-2}})>$
B(x)$B(x)$ 被表示爲：<(x0,yb0),(x1,yb1),…,(x2n−2,yb2n−2)>$<(x_0,y_{b_0}),(x_1,y_{b_1}),\dots ,(x_{2n-2},y_{b_{2n-2}})>$
顯然A(x)×B(x)$A(x)\times B(x)$ 被表示爲：<(x0,ya0yb0),(x1,ya1yb1),…,(x2n−2,ya2n−2yb2n−2)>$<(x_0,y_{a_0}{y}_{b_0}),(x_1,y_{a_1}{y}_{b_1}),\dots ,(x_{2n-2},y_{a_{2n-2}}{y}_{b_{2n-2}})>$

這裏多取了點的原因在於A(x)×B(x)$A(x)\times B(x)$ 是一個2n−2$2n-2$ 次多項式，則至少要取2n−1$2n-1$ 個點才能保證正確。

但是顯然還是O(n2)$O(n^2)$ 的。

再試：

考慮設A(xi)=A0(x2i)+xiA1(x2i)$A(x_i)=A_0(x_i^2)+x_i{A}_1(x_i^2)$ ，其中:
A0(x)=a0+a2x+a4x2+…+an−2xn2+1$A_0(x)=a_0+a_{2}x+a_4{x}^2+\dots +a_{n-2}{x}^{\frac{n}{2}+1}$
A1(x)=a1+a3x+a5x2+…+an−1xn2+1$A_1(x)=a_1+a_{3}x+a_5{x}^2+\dots +a_{n-1}{x}^{\frac{n}{2}+1}$

其實就是按照係數下標的奇偶性分類了一下。

此時我們再令取點的x$x$ 值爲<x0,x1,…,xn2−1,−x0,−x1,…,−xn2−1>$<x_0,x_1,\dots ,x_{\frac{n}{2}-1},-x_0,-x_1,\dots ,-x_{\frac{n}{2}-1}>$
我們發現把x$x$ 平方後我們的取值瞬間縮小了一半，而原式唯一變化的就是A1(x)$A_1(x)$ 前的符號。
看起來我們似乎找到了O(nlogn)$O(nlogn)$ 的可行方案。
但是很可惜，這樣優秀的x$x$ 取值的性質只會保留一次，也就是說我們只是得到了一個O(n22)$O(\frac{n^2}{2})$ 。
如何才能每次將問題的規模縮小一半是我們的目標。

插曲：

有個人告訴你：不如試試Xn=cos2πn+i×sin2πn$X_n=cos\frac{2\pi }{n}+i\times sin\frac{2\pi }{n}$ 的 0…n−1$0\dots n-1$ 次方作爲x$x$ 的取值。

這塊大家一直有個疑惑：這是怎麼構造出來的啊？
事實上傅里葉變換最早是應用於信號處理上的，傅里葉提出：任何連續週期信號可以由一組適當的正弦曲線組合而成。
多項式可以看做非連續週期信號，然後通過各種奇妙的姿勢讓它逼近正弦曲線的組合形，詳情可以看鬆鬆鬆WC2018的課件。
“逼近”顯然用到了微積分，不適合初學者，所以就直接跳過了。（其實我也不會……）
（再多說一點吧，其實上面和下面的數學推理完全可以從物理層面理解，還是可以參考鬆鬆鬆WC2018的課件）

繼續：

那麼令取點的x$x$ 值爲<X0n,X1n,…,Xn−1n>$<X_n^0,X_n^1,\dots ,X_n^{n-1}>$
我們可知：
(Xkn)2$(X_n^k{)}^2$

=X2kn$=X_n^{2k}$

=cos2k×2πn+i×sin2k×2πn$=cos\frac{2k\times 2\pi }{n}+i\times sin\frac{2k\times 2\pi }{n}$

=cos2kπn2+i×sin2kπn2$=cos\frac{2k\pi }{\frac{n}{2}}+i\times sin\frac{2k\pi }{\frac{n}{2}}$

=Xkn2$=X_{\frac{n}{2}}^k$

---

Xkn$X_n^k$

=cosk×2πn+i×sink×2πn$=cos\frac{k\times 2\pi }{n}+i\times sin\frac{k\times 2\pi }{n}$

根據三角函數的週期性可知，k$k$ 對n$n$ 取模顯然不會對答案造成影響。
於是我們有Xkn=Xk%nn$X_n^k=X_n^{k\mathrm{\%}n}$

那麼顯然對於<(X0n)2,(X1n)2,…,(Xn−1n)2>$<(X_n^0{)}^2,(X_n^1{)}^2,\dots ,(X_n^{n-1}{)}^2>$

它等效於<X0n2,X1n2,…,Xn2−1n2,X0n2,X1n2,…,Xn2−1n2>$<X_{\frac{n}{2}}^0,X_{\frac{n}{2}}^1,\dots ,X_{\frac{n}{2}}^{\frac{n}{2}-1},X_{\frac{n}{2}}^0,X_{\frac{n}{2}}^1,\dots ,X_{\frac{n}{2}}^{\frac{n}{2}-1}>$

我們好像看到了O(nlogn)$O(nlogn)$ 的曙光了。

尾聲：

顯然我們可以對x$x$ 的取值折半，然後對於左右區間的x$x$ 值遞歸下去即可。
Q1：誒等等，“再試”裏面的內容好像沒有應用上啊……

A1：那就轉化一下，其實我們只需要求一個區間的A0(x)$A_0(x)$ 和A1(x)$A_1(x)$ 值遞歸下去求A(x)$A(x)$ 即可。
也就是說其實我們是得到了：
<(A0)0,(A0)1,…,(A0)n2−1,(A1)0,(A1)1,…,(A1)n2−1>$<(A_0{)}_0,(A_0{)}_1,\dots ,(A_0{)}_{\frac{n}{2}-1},(A_1{)}_0,(A_1{)}_1,\dots ,(A_1{)}_{\frac{n}{2}-1}>$

Q2：這好像是畫蛇添足……

A2：emmm……我說這個可以用於常數優化你信嗎……
顯然A(Xkn)=(A0)k%n2+Xkn(A1)k%n2$A(X_n^k)=(A_0{)}_{k\mathrm{\%}\frac{n}{2}}+X_n^k(A_1{)}_{k\mathrm{\%}\frac{n}{2}}$

取模是因爲，不要忘了我們的取值是由兩個一樣的左右區間合併在一起的。

那麼我們得到了<A0,A1,…,An−1>$<A_0,A_1,\dots ,A_{n-1}>$

（其中Ak=A(Xkn)$A_k=A(X_n^k)$ ）

我們好像把這個序列的長度減少了一半誒！那自然是快了二倍啊。

不要忘了n要滿足始終是2的倍數，所以n要取2的整數次冪，同時將沒用的次冪的係數填成0。

Q3：IFFT怎麼做啊？

A3：繼續看下去……？

補遺：

略講一下IFFT。
顯然我們可以把FFT的最初算法（也就是DFT）看做兩個矩陣相乘。

兩個矩陣分別一個填(Xkn)m$(X_n^k{)}^m$ ，一個填係數，可以上參考處原博客看矩陣。

那麼我們把第一個矩陣變成逆矩陣豈不是爲IFFT？
其實就是這樣，並且事實上就是填((X−kn)m)/n$((X_n^{-k}{)}^m)/n$ ，具體證明過程看參考處原博客。
剩下的做法就和FFT一樣啦。

謝幕：

（是的我沒有講實現，因爲我也是今天才學完）
（然而學完和代碼能寫出來是兩個概念，所以先咕咕咕了）