數學有關的知識點

【球冠的面積】

鏈接：傳送門

假定球冠最大開口部分圓的半徑爲 r ，對應球半徑 R 有關係：r = Rc
osθ，則有球冠積分表達：
球冠面積微分元 dS = 2πr*Rdθ = 2πR^2*cosθ dθ
積分下限爲θ，上限π/2
所以：S = 2πR*R(1 - sinθ)
其中：R(1 - sinθ)即爲球冠的自身高度H
所以：S = 2πRH
S=∫dS =∫2πr*Rdθ=∫ (2πR)^2*cosθ dθ=(2πR)^2∫cosθ dθ= 2πR^2(1 - sinθ)
球缺的體積公式
若球半徑是R，球缺的高是h，球缺的底面半徑是r，體積是V，則
V=лh^2*（R-h/3)
V=лh*(r^2/2+h^2/6)

【已知弦長求弧長】

【通過經緯度求弦長】

題目鏈接：傳送門

題目：給出地球上的兩個點的經度和緯度，計算兩點球面距離和兩點的空間距離差。

分析：計算幾何、大地座標系。利用公式可直接解得兩點的空間距離：

        d = r*sqrt(2-2*(cos(lat1)*cos(lat2)*cos(lon1-lon2)+sin(lat1)*sin(lat2)))

        推導過程如下：
        如圖，C，D爲已知兩點則有如下推導：            

        AB = r*cos(lat1)；DE = r*cos(lat2)；BE = r*sin(lat1) + r*sin(lat2)；

        AD*AD = BE*BE + (AB-DE)*(AB-DE) = 2*r*r - 2*r*r*sin(lat1)*sin(lat2) - 2*r*r*cos(lat1)*cos(lat2)；

        AC*AC = 2*AB*AB - 2*AB*AB*cos(lon1-lon2) = 2*r*r*cos(lat1)*cos(lat1)*(1-cos(lon1-lon2))；

        DF*DF = 2*DE*DE - 2*DE*DE*cos(lon1-lon2) = 2*r*r*cos(lat2)*cos(lat2)*(1-cos(lon1-lon2))；

        AC*DF = 2*r*r*cos(lat1)*cos(lat2)*(1-cos(lon1-lon2))；

        由托勒密定理有 AC*DF + AD*AD = CD*CD 整理有：

        CD = r*sqrt(2-2*(cos(lat1)*cos(lat2)*cos(lon1-lon2)+sin(lat1)*sin(lat2)))；

代碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    int t;
    cin >> t;
    int r = 6371009;
    double PI = acos(-1);
    while(t--)
    {
        double lat1, lng1, lat2, lng2;
        cin >> lat1 >> lng1 >> lat2 >> lng2;
        lat1+= 180;
        lat2+=180;
        lat1 *= PI/180;
        lat2 *= PI/180;
        lng1 *= PI/180;
        lng2 *= PI/180;  
        double x1, x2, y1, y2, z1, z2;
        z1 = r * sin(lat1);
        y1 = r * cos(lat1) * sin(lng1);
        x1 = r * cos(lat1) * cos(lng1);
        z2 = r * sin(lat2);
        y2 = r * cos(lat2) * sin(lng2);
        x2 = r * cos(lat2) * cos(lng2);
        double len1 = sqrt((x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2)+(z1-z2)*(z1-z2));//距離
        double len2 = 2 * r * asin(len1 / (2 * r));//弧度

        printf("%lld\n",(long long)(len2 - len1 + 0.5));
    }
    return 0;
}