【逆元】動態規劃中經常涉及到的優化手段

逆元（inv）

1.什麼是逆元

當求解公式：(a/b)%m 時，因b可能會過大，會出現爆精度的情況，所以需變除法爲乘法：

設c是b的逆元，則有b*c≡1(mod m)；

則(a/b)%m = (a/b)*1%m = (a/b)*b*c%m = a*c(mod m);

即a/b的模等於a*b的逆元的模；

逆元就是這樣應用的；

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2.求逆元的方法

(1).費馬小定理

在是素數的情況下，對任意整數都有。
如果無法被整除，則有。
可以在爲素數的情況下求出一個數的逆元，，即爲逆元。

題目中的數據範圍1<=x<=10^9，p=1000000007，p是素數；

所以x肯定就無法被p整除啊，所以最後就得出x^(p-2)爲x的逆元啦。

複雜度O(logn)；

代碼：

const int mod = 1000000009;
long long quickpow(long long a, long long b) {
    if (b < 0) return 0;
    long long ret = 1;
    a %= mod;
    while(b) {
        if (b & 1) ret = (ret * a) % mod;
        b >>= 1;
        a = (a * a) % mod;
    }
    return ret;
}
long long inv(long long a) {
    return quickpow(a, mod - 2);
}

(2)擴展歐幾里得算法求逆元

擴展歐幾里得算法可以參考小白書；

百度百科-乘法逆元中有這樣一個例子:

例如：4關於1模7的乘法逆元爲多少？
4X≡1 mod 7
這個方程等價於求一個X和K，滿足
4X=7K+1
其中X和K都是整數。
求x，k就是擴展歐幾里得算法了吧~
可擴展歐幾里得求逆元ax≡1(mod n)其中a，n互質；

複雜度：O(logn)；

代碼：

ll extend_gcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    else {
        ll r = extend_gcd(b, a % b, y, x);
        y -= x * (a / b);
        return r;
    }
}
ll inv(ll a, ll n) {
    ll x, y;
    extend_gcd(a, n, x, y);
    x = (x % n + n) % n;
    return x;
}

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(3) 逆元線性篩 ( P爲質數 )

求1,2,…,N關於P的逆元（P爲質數）

複雜度：O(N)

代碼：

const int mod = 1000000009;
const int maxn = 10005;
int inv[maxn];
inv[1] = 1;
for(int i = 2; i < 10000; i++)
    inv[i] = inv[mod % i] * (mod - mod / i) % mod;

如果是求階乘的逆元呢？（階乘數組：fac[ ]）

代碼：

inv[maxn]=mod_pow(fac[maxn],mod-2);
for(ll i=maxn-1;i>=0;i--)
    inv[i]=(inv[i+1]*(i+1))%mod;