次小生成樹模板

次小生成樹可由最小生成樹換一條邊得到，這是核心結論!

證明:咱換種方式去看待這個結論(一個生成樹可以通過換邊得到另一個生成樹)，T是某一棵最小生成樹，T0是任一棵異於T的生成樹，通過變換T0 --> T1 --> T2 --> ... --> Tn (T)  變成最小生成樹。所謂的變換是，每次把Ti中的某條邊換成T中的一條邊, 而且樹T(i+1)的權小於等於Ti的權。

         看下面的具體步驟(一定要理解透徹)。 
         step 1. 在Ti中任取一條不在T中的邊uv. 
         step 2. 把邊uv去掉，就剩下兩個連通分量A和B，在T中，必有唯一的邊u'v' 連結A和B。這是爲什麼呢？因爲生成樹中任意兩點間只有一條路徑(下面也要用這個)，且必有一條。 
         step 3. 顯然u'v'的權比uv小 (prime算法貪心的，否則,uv就應該在T中)，把u'v'替換uv即得樹T(i+1)。 
         特別地：取T0爲任一棵次小生成樹，T(n-1) 也就是次小生成樹且跟T差一條邊， 結論得證。

具體實現看代碼。

#include<stdio.h>       ////O（v^2）,適用於稠密圖
#include<string.h>
#define max(x,y) x>y?x:y
#define min(x,y) x<y?x:y
const int N=1000;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int a[N][N],p[N],low[N],n;
int f[N][N],fa[N];
int prim()
{
    int i,j,ans=0,poi,top=0,sta[N];
    memset(p,0,sizeof(p));
    memset(f,0,sizeof(f));
    p[1]=1,sta[++top]=1;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        low[i]=a[1][i];
        fa[i]=1;        //父節點
    }
    for(i=1;i<n;i++)           ////n-1次操作
    {
        int mi=INF;
        for(j=1;j<=n;j++)
        {
            if(!p[j]&&mi>low[j])
            {
                mi=low[j];
                poi=j;
            }
        }
        p[poi]=1;
        ans+=mi;
        //// dp
        for(j=1;j<=top;j++)
        {
            f[sta[j]][poi]=f[poi][sta[j]]=max(mi,f[fa[poi]][sta[j]]);
        }
        sta[++top]=poi;
        for(j=1;j<=n;j++)
            if(!p[j]&&low[j]>a[poi][j])
            {
                fa[j]=poi;  ////更新父節點
                low[j]=a[poi][j];
            }
    }
    return ans;
}
int SMST()
{
    int tmp=prim(),i,j,mi=INF;
    printf("SMT: %d\n",tmp);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=1;j<=n;j++)
        {
            if(i!=j&&a[i][j]!=INF&&fa[i]!=j&&fa[j]!=i)  ////fa[i]!=j&&fa[j]!=i表示這兩個點之間的邊沒有在最小生成樹中
            {
                mi=min(mi,a[i][j]-f[i][j]);
            }
        }
    }
    return tmp+mi;
}
int main()
{
    int i,j;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(i=1;i<=n;i++)
            for(j=1;j<=n;j++)
                scanf("%d",&a[i][j]);
        printf("SMST: %d\n",SMST());
    }
    return 0;
}
/* 測試數據
4
0 4 9 21
4 0 8 17
9 8 0 16
21 17 16 0
*/

參考文章：http://www.cnblogs.com/hxsyl/p/3290832.html

    http://blog.sina.com.cn/s/blog_63509b890100r445.html