atcoder reguler contest 089 E graph xy

構造一個滿足下列條件的有向圖：
1. 頂點數不超過 300$300$ ，其中有一個源點 S$S$ 和一個匯點 T$T$
2. 沒有重邊和自環
3. 頂點由 1$1$ 至 N$N$ 編號
4. 每條邊的權值 ∈[0,100]$\in [0,100]$ ，也可以是一個標籤 X$X$ 或 Y$Y$
5. 對於給定的每一對滿足 x∈[1,A],y∈[1,B]$x\in [1,A],y\in [1,B]$ 的 (x,y)$(x,y)$ ，在標籤爲 X$X$ 的邊的權值爲 x$x$ ，標籤 Y$Y$ 的權值爲 y$y$ 時，源點 S$S$ 到匯點 T$T$ 的最短路徑長度爲 d(x,y)$d(x,y)$

1≤A,B≤10$1\le A,B\le 10$
1≤d(x,y)≤100$1\le d(x,y)\le 100$

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每一條最短路都經過了一些 X$X$ 邊，一些 Y$Y$ 邊和一些常數邊。我們發現如果有兩條 S$S$ 至 T$T$ 的路徑包含了相同多的 X$X$ 邊和 Y$Y$ 邊，常數邊大的那條邊是沒有意義的，因爲對於所有 (x,y)$(x,y)$ ，常數項小的那條路徑的權值肯定比常數項大的小。

且 d(i,j)≤100$d(i,j)\le 100$ ，所以我們可以按如下方式構圖：

下半部分頂點可以自由向上半部分連常數權值的邊。
我們設 f(i,j)$f(i,j)$ 代表過了 i$i$ 條 X$X$ 邊， j$j$ 條 Y$Y$ 邊的常數邊的權值，例如 f(1,2)$f(1,2)$ 就代表了圖中 1$1$ 號點與 102$102$ 號點之間常數邊的權值。

那麼，

d(i,j)=min{ f(a,b)+ai+bj }$$d(i,j)=min\{f(a,b)+ai+bj\}$$

因爲我們要確定 f(a,b)$f(a,b)$ 的值，所以我們反過來考慮

f(a,b)≤d(i,j)−ai−bj,  i≤A,j≤B$$f(a,b)\le d(i,j)-ai-bj,i\le A,j\le B$$

我們讓每一個 f(a,b)$f(a,b)$ 都儘量小，這樣就給最小的 d(i,j)$d(i,j)$ 提供了一條最短路。

確定每個f(a,b)$f(a,b)$ 的值後，我們只需要驗證一下是否符合即可。

O(d(i,j)2AB)$O(d(i,j{)}^{2}AB)$

code：

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const int N = 350;
    const int INF = 1<<30;

    int a, b, s, t, sum, d[N][N], f[N][N];

    inline void ck_min( int &a, int b ) { if( a > b ) a = b; }
    inline void ck_max( int &a, int b ) { if( a < b ) a = b; }

    inline bool check( int x, int y, int val )
    {
        int res = INF;
        for( int i = 0; i <= 100; i ++ )
            for( int j = 0; j <= 100; j ++ )
                if( f[i][j] >= 0 ) ck_min( res, i*x + j*y + f[i][j] );

    //  printf( "x:%d, y:%d, res:%d\n", x, y, res );
        return res == val;
    }

    int main()
    {
        memset( f, -1, sizeof( f ) );

        scanf( "%d%d", &a, &b );
        for( int i = 1; i <= a; i ++ )
            for( int j = 1; j <= b; j ++ )
                scanf( "%d", &d[i][j] );

        s = 201, t = 202; 
        // s --> 1 --> 2 --> ... --> 100
        // t <-- 101 <-- 102 <-- ... <-- 200

        for( int i = 0; i <= 100; i ++ )
            for( int j = 0; j <= 100; j ++ )
            {
                int tmp = -INF;
                for( int _a = 1; _a <= a; _a ++ )
                    for( int _b = 1; _b <= b; _b ++ )
                        ck_max( tmp, d[_a][_b] - i*_a - j*_b ); 
                f[i][j] = tmp; 
                if( f[i][j] < 0 ) break;

                sum ++;
    //          printf( "i:%d, j:%d, f:%d\n", i, j, f[i][j] );
            }

        for( int i = 1; i <= a; i ++ )
            for( int j = 1; j <= b; j ++ )  
                if( !check( i, j, d[i][j] ) ) {
                    printf( "Impossible\n" ); return 0;
                } 

        printf( "Possible\n" );

        printf( "%d %d\n", 202, sum+200 );
        for( int i = 1; i < 100; i ++ )
            printf( "%d %d X\n%d %d Y\n", i, i+1, i+101, i+100 );

        printf( "%d %d X\n%d %d Y\n", s, 1, 101, t );
        for( int i = 0; i <= 100; i ++ )
            for( int j = 0; j <= 100; j ++ )
                if( f[i][j] >= 0 )  printf( "%d %d %d\n", !i ? s : i, !j ? t : j+100, f[i][j] );

        printf( "%d %d\n", s, t );

        return 0;
    }