「CQOI2015」選數

「CQOI2015」選數

求在區間[L,R] 內選取n 個數(可重複)，最大公約數爲k 的方案。答案對109+7 取模。

n,k<=109
L,R<=109

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我們發現如果要使選出的數的最大公約數爲k ，那選出的這些數必定都是k 的倍數。
再觀察一下，我們會發現這些k 的倍數的最大公約數也只可能是k 的倍數。

所以我們設
f(x)=[L,R] 內選n 個數, gcd爲k 的方案數
g(x)=[L,R] 內選n 個數，gcd爲k 的倍數的方案數

[L,R] 內k 的倍數的個數爲

⌊Rk⌋−⌊L−1k⌋

那麼

g(x)=(⌊Rk⌋−⌊L−1k⌋)n

g(x)=∑x|df(d)

⇒f(x)=∑x|dμ(dx)g(d)

∴f(x)=∑x|dμ(dx)(⌊Rd⌋−⌊L−1d⌋)n

我們要求的就是f(k)

ans=∑x|kμ(dx)(⌊Rk⌋−⌊L−1k⌋)n

ans=∑x=1μ(x)(⌊Rxk⌋−⌊L−1xk⌋)n

我們發現，當⌊Rxk⌋,⌊L−1xk⌋ 相同時
(⌊Rxk⌋−⌊L−1xk⌋)n 也相同

所以我們可以在O(n√logn) 內求出ans 的值，用杜教篩求出μ(x) 的前綴和即可。

要注意取模的數作差的時候要加上模數！
(a−b)%MOD⇒(a−b+MOD)%MOD

code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD = 1000000007;
const int N = 5000000;
const int LIM = 1000000;

ll ksm( ll a, int b )
{
    ll ret = 1; 
    while( b ) 
    {
        if( b & 1 ) ret = (ret * a) %MOD;
        a = (a * a) %MOD; b >>= 1; 
    }
    return ret;
}

map <int, ll> m;

bool is_prime[N];
int tot = 0, prime[N], mobius[N];

int n, k, L, R;

void init( int size )
{
    memset( is_prime, true, sizeof( is_prime ) );
    is_prime[1] = 1; mobius[1] = 1;

    for( int i = 2; i <= size; i ++ )
    {
        if( is_prime[i] )
            prime[++tot] = i, mobius[i] = -1;

        for( int j = 1; j <= tot; j ++ )
        {
            int k = i * prime[j];
            if( k > size ) break;
            is_prime[k] = false;

            if( i % prime[j] == 0 )
                mobius[k] = 0;
            else mobius[k] = - mobius[i];   
        }
    }

    for( int i = 2; i <= size; i ++ )
        mobius[i] = (mobius[i] + mobius[i-1]) %MOD;
}

ll calc_mobius( int x )
{
    if( x <= LIM ) return mobius[x];
    if( m[x] ) return m[x];

    int next = 0; ll ret = 0;
    for( int i = 2; i <= x; i = next + 1 )
    {
        next = x / ( x / i );
        ret -= calc_mobius(x/i) * (next-i+1);
    }

    m[x] = ret %MOD;
    return ret %MOD;
}


int main()
{
    init( LIM ); 

    scanf( "%d%d%d%d", &n, &k, &L, &R );

    R = R / k; L = ( L - 1 ) / k;

    int next = 0; ll ans = 0;
    for( int i = 1; i <= R; i = next + 1 )   
    {
//      printf( "i:%d, L:%d, R:%d\n", i, L, R );
        if( L/i ) next = min( R/(R/i), L/(L/i) ); else next = R / (R/i);
        ans += ( ksm( (R/i)-(L/i), n ) * ( calc_mobius(next) - calc_mobius(i-1) + MOD ) %MOD);
        ans %= MOD;
//      printf( "next:%d, mobsum(next):%d\n", next, calc_mobius(next) );
    }

    printf( "%lld\n", ans );

    return 0;
}

// 2 2 2 4