2018.10.16.2

給定 $N, M$，對於任意的 $1 \leq k \leq N$，求出葉子數爲 $k$，滿足每個葉子到根的路徑上左向邊數量少於 $M$，每個節點都有 $0$ 或 $2$ 個子節點，區分左右的二叉樹數量

$N, M \leq 5000$

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一般的DP是 $O(n^3)$ 的，所以我們要優化一下狀態

我們考慮像 dfs 遍歷整棵樹，設 $f(i, j)$ 表示當前的樹有 $i$ 個葉子，遍歷到的點左向邊數量爲 $j$ 的方案數

我們新增一個節點時，葉子數量有可能不變（向左搜索），也有可能增加一個葉子（回溯後向右搜索），葉子數不變時，左向邊數增加了 $1$，葉子數增加時，左向邊數量減少了 $1$（因爲每個非葉子節點都有 $2$ 個子節點），所以我們有
$f(i, j) = f(i, j-1) +f(i-1, j+1)$

那麼最後 $f(i, 0)$ 就是葉子數爲 $i$ 時的答案，時間複雜度 $O(n^2)$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll; 

const int N = 6000; 
const int MOD = 998244353;

int n, m; ll f[N][N];

inline ll add( ll a, ll b ) { return a + b >= MOD ? a + b - MOD : a + b; }

int main()
{
	scanf( "%d %d", &m, &n ); 

	f[1][0] = 1; 
	
	for( int i = 1; i < n; i ++ )	
		for( int j = 0; j < m; j ++ )
		{
			if( j < m - 1 ) f[i][j+1] = add( f[i][j+1], f[i][j] ); 
			if( j > 0 ) f[i+1][j-1] = add( f[i+1][j-1], f[i][j] ); 
 		}
	
	for( int i = 1; i <= n; i ++ )
		printf( "%lld\n", f[i][0] ); 
	
	return 0; 
}