关于欧拉函数及Sicily1085的解法

1. 数论中的欧拉函数复习

F(x): 1～x中与x互质的数的个数，称为欧拉函数

欧拉函数是积性函数，即F(x*y)=F(x)*F(y)，如果x和y互质

另外：F(x)=x-1，如果x是素数

F(x^p)=x^p-x^p-1=x^p-1*(x-1)

于是关于欧拉函数的求法如下：F(x)=F(x₁^p₁*x₂^p₂*...x_n^p_n)，然后采用上式求解

代码如下：

long long emular(int x) { long long ans=x; int i; for (i=0; i<MAXV; i++) { if (prime[i]>sqrt(1.0*x)) { break; } if (x%prime[i]==0) { ans=ans/prime[i]*(prime[i]-1); while (x%prime[i]==0) { x/=prime[i]; } } } if (x>1) { ans=ans/x*(x-1); } return ans; }

2. 关于Sicily1085

给定一个数N，要求1～N之间的每个数与N的最大公约数之和

算法：枚举每一个最大公约数i，求1～N之间与N的最大公约数是i的数的个数，设为p个，于是答案加上i×p

         枚举的时候因为gcd(x,N)=i即等价于gcd(x/i,N/i)=1，于是等价于求解N/i的欧拉数，这样枚举i，加上i*(N/i)的欧拉数

参考代码如下：

#include <stdio.h> #include <math.h> #include <string.h> const int MAXV = 1000020; //素数表范围 bool flag[MAXV+1]; //标志一个数是否为素数 int prime[MAXV+1]; //素数表,下标从0开始 int size; //素数个数 long long emular(int x) { long long ans=x; int i; for (i=0; i<MAXV; i++) { if (prime[i]>sqrt(1.0*x)) { break; } if (x%prime[i]==0) { ans=ans/prime[i]*(prime[i]-1); while (x%prime[i]==0) { x/=prime[i]; } } } if (x>1) { ans=ans/x*(x-1); } return ans; } void genPrime(int max) { memset(flag, true, sizeof(flag)); for(int i = 2; i <= max / 2; i++) { if(flag[i]) { for(int j = i << 1 ; j <= max; j += i) { flag[j] = false; } } } for(int i = 2 ; i <= max; i++) { if(flag[i]) { prime[size++] = i; } } //printf("%d/n",prime[size-1]); } int main() { int n; long long i; genPrime(655370); while (scanf("%d",&n)!=EOF) { long long ans=0; for (i=1;i<=sqrt(n*1.0);i++) { if (n%i==0) { ans=ans+i*emular(n/i); if(n!=i*i) ans=ans+(n/i)*emular(i); } } printf("%lld/n",ans); } return 0; }