AHP

1，簡介
層次分析法是由美國匹茲堡大學教授T.L.Saaty在70年代中期提出的。它的基本思想是把一個複雜的問題分解爲各個組成因素，並將這些因素按支配關係分組，從而形成一個有序的遞階層次結構。通過兩兩比較的方式確定層次中諸因素的相對重要性，然後綜合人的判斷以確定決策諸因素相對重要性的總排序。層次分析法的出現給決策者解決那些難以定量描述的決策問題帶來了極大的方便，從而使它的應用幾乎涉及任何科學領域。
系統性——將對象視作系統，按照分解、比較、判斷、綜合的思維方式進行決策——系統分析（與機理分析、測試分析並列）；
實用性——定性與定量相結合，能處理傳統的優化方法不能解決的問題；
簡潔性——計算簡便，結果明確，便於決策者直接瞭解和掌握。
如果所選的要素不合理，其含義混淆不清，或要素間的關係不正確，都會降低AHP法的結果質量，甚至導致AHP法決策失敗。
爲保證遞階層次結構的合理性，需把握以下原則：
1、分解簡化問題時把握主要因素，不漏不多；
2、注意相比較元素之間的強度關係，相差太懸殊的要素不能在同一層次比較。
侷限性：
AHP從建立層次結構模型到構建兩兩比對判斷矩陣，人的主觀因素比較大，採用專家羣體判斷的辦法是克服這一侷限性的有效途徑。然而，只要對系統分析及問題的因素瞭解的越透徹，越能得到合理的判斷和正確的排序結果。
2、基本模型—單層次模型

（2）思想：
整體判斷 n個元素的兩兩比較。
定性判斷定量表示（通過標量）
通過數學公式（特徵值）確定各元素評價權重
（3）計算步驟
i. 構造兩兩比較判斷矩陣
ii. 計算單一準則下元素的相對重要性（層次單排序）
iii. 單層次判斷矩陣A的一致性檢驗
i. 判斷矩陣

標度（aij）的含義：Ai比Aj 時由決策者回答下列問題所得

判斷矩陣中的元素具有下述性質

例：決策者認爲Ai比Aj明顯重要，則aij＝5
這樣由決策者的定性判斷轉換爲定量表示，這是AHP的特點之一。
ii. 層次單排序
計算判斷矩陣A的最大特徵根λmax和其對應的經歸一化後的特徵向量W= (w1, w2, …,wn) T
AW=λmaxW
由此得到的特徵向量W= (w1, w2, …,wn) T 就作爲對應評價單元的權重向量。
λmax和W的計算一般採用冪法、和法和方根法。

問題
爲什麼兩兩比較判斷矩陣A的最大特徵值的向量W= (w1, w2, …,wn) T
可以作爲評價單元A1, A2, …,An的權重向量？

實際評價時，並不知道這權重向量
比較Ai與Aj重要性時，通過詢問決策者只能得到近似的比值aij
aij～wi/wj
得到的判斷矩陣是近似的判斷矩陣A.
A ～A
精確判斷矩陣的最大特徵值的向量
W= (w1, w2, …,wn) T
是完全精確的權重向量
近似判斷矩陣A最大特徵值的向量
W= (w1, w2, …,wn) T
可以作爲近似的權重向量

3、多層次分析法基本步驟
（1）遞階層次結構

（3）計算各元素的總權重

4、應用案例
某廠有一筆企業留成利潤要決定如何使用，根據各方意見提出的決策方案有：發獎金；擴建集體福利設施；辦技校；建圖書館；購買新設備。在決策時要考慮調動職工勞動積極性、提高職工技術文化水平、改善職工物質文化生活三方面，據此構造各因素之間相互聯結的層次結構模型如下圖所示。
（1）層次結構圖

（2）計算單一準則下元素的相對重要性

（3）計算各元素的總權重

（4）結論
發獎金，福利設施，辦技校，建圖書館，新設備
W=(0.157, 0.164, 0.393, 0.113, 0.172)
C.I.=0.028
R.I.=0.923
CR=0.03<0.10
計算結果表明，對於合理使用企業留成利潤來說，辦技校是首選的方案。
五．問題提出
中國女排在2007年一系列熱身賽中成績不佳，透露出這麼一個重要信息：我們應該怎樣科學地選拔上場隊員。
是否應該認真的反思一下歷年來選拔隊員的程序和方法，它們是否是在科學原則的指導下進行的。從管理的角度來看，選擇上場隊員的問題實質是一個綜合評估問題。科學評估有三要素：評估者、評估指標體系和評估方法。實際上隊員選拔問題也應該按照這三個準則進行：一是確定科學的確定評估者（教練組），二是要建立一套合理的評價指標體系，三是選用科學有效的評估方法進行。
模擬算例
基於本屆奧運會的教訓和實際情況，我們通過一個模擬的算例，來看如何運用此方法進行隊員選拔。確定本屆奧運會1-2名留隊的副攻隊員。
評估對象：我們選擇四位現役國家隊副攻隊員，薛明、趙蕊蕊、徐雲麗、馬蘊雯。
模擬評估小組――研究生球迷小組。
評價指標――討論提出下列四個指標：身體條件、大賽經驗力、訓練水平、場上作風。
具體評價模型和評價過程如下：
1.構造各因素之間的層次結構模型

2.構造第二層相對於第一層的判斷矩陣

3.層次單排序和一致性檢驗

4.構造第三層相對第二層的各個指標的判斷矩
略
5第三層相對於第一層的權重

6.層次總排序和一致性檢驗
通過計算，可得如下結果：
A-C層次上的權值：(麗麗,蕊蕊,明明,雯雯)
特徵向量 W = (0.104,0.448,0.249,0.199)
對判斷矩陣進行一致性檢驗，即計算C.I. 和C.R.
C.I. = 0.038 C.R. = 0.042
C.R. < 0.1，通過一致性檢驗