LCS（最長公共子序列）

LCS（最長公共子序列）

LCS是Longest Common Subsequence的縮寫，即最長公共子序列。一個序列，如果是兩個或多個已知序列的子序列，且是所有子序列中最長的，則爲最長公共子序列。

解決方法

對於一般的LCS問題，都屬於NP問題。當數列的量爲一定的時，都可以採用動態規劃去解決

算法

設兩個字符串x，y，c[i][j]代表x的i位和y的j位之前的最長公共子序列的長度。

則如果x[i]==y[j]，那麼c[i][j]=c[i-1]c[j-1]+1。如果x[i]!=y[j]，那麼c[i][j]一定等於c[i-1][j]或者c[i][j-1]。

如果我們需要把最長公共子序列找出，我們可以通過記錄每次最長公共子序列長度的情況來找出子序列。

以下是代碼實現：

void lcs(char *x, int m, char *y, int n)
{
    int i, j;
    memset(c, 0, sizeof(c));
    memset(b, 0, sizeof(b));
    for (i=1; i<=m; i++) {
        for (j=1; j<=n; j++) {
            if (x[i] == y[j]) {
                c[i][j] = c[i-i][j-1] + 1;
                b[i][j] = 1;
            } else if (c[i][j-1] < c[i-1][j]) {
                c[i][j] = c[i-1][j];
                b[i][j] = 2;
            } else {
                c[i][j] = c[i][j-1];
                b[i][j] = 3;
            }
        }
    }
}

void show(int i, int j, char *c) {
    if (i == 0 || j == 0) {
        return;
    }
    if (b[i][j] == 1) {
        printf("%c", c[i-1]);
        show(i-1, j-1, c);
    } else if (b[i][j] == 2) {
        show(i-1, j, c);
    } else {
        show(i, j-1, c);
    }
}

int main(int argc, const char * argv[])
{
    
    char x[] = "aabcd";
    char y[] = "12abcabcd";
    int m = (int)strlen(x);
    int n = (int)strlen(y);
    lcs(x, m, y, n);
    show(m, n, x);
    printf("\n");
    return 0;
}