【僞多項式時間】

Stack Overflow上有人關於這個概念(Pseudo-polynomial time)進行過詳細解釋。
原答案：
algorithm - What is pseudopolynomial time? How does it differ from polynomial time?

我大概翻譯一下：

想要理解“僞多項式時間”，我們需要先給出“多項式時間”的一個清楚的定義。

對於“多項式時間”，我們的直觀概念是時間複雜度,其中是一常數。比如，選擇排序的時間複雜度是，是多項式時間；暴力解決TSP問題的時間複雜度是，不是多項式時間。我們稱這種時間複雜度爲“傳統時間複雜度”。

我們通常認爲傳統時間複雜度中的變量表示數據的輸入規模。比如，選擇排序中，指待排序數組中元素的個數；TSP問題中表示圖中節點的數量。但是，這些所謂的輸入規模，僅僅是直觀的定義，並不足夠嚴謹。爲了標準化這些，在計算標準時間複雜度時，我們給出了輸入規模的標準定義：
一個問題的輸入規模是保存輸入數據所需要的bit位數。

比如，如果排序算法的輸入是一個32-bit整數數組，那麼輸入規模就是，是指數組中元素的個數。對於一個帶有個節點、條邊的圖，需要的bit位數就是。

瞭解了輸入規模的定義，我們來看“多項式時間”的標準定義：
對於一個問題，在輸入規模爲x的情況下，如果一個算法能夠在O( $x^{k}$ )時間內解決此問題，則我們稱此算法是多項式時間的，其中爲一常數。

當我們處理一些圖論、鏈表、數組、樹等問題時，這個標準定義下的多項式時間和我們傳統的多項式時間相差無幾。比如，用選擇排序對元素個數爲的數組進行排序時，傳統時間複雜度爲。輸入規模，因此，得到的標準時間複雜度是，仍然是多項式時間。

類似的，假設在帶有個節點、條邊的圖中做DFS(深度優先搜索)，傳統時間複雜度爲。數據規模，因此，標準時間複雜度是，仍是多項式時間的。

然而，當我們處理一些與數論有關的問題時，事情就不太樂觀了。現在我們來討論判斷一個整數是否爲素數的算法，下面是一個簡單的算法：
function isPrime(n):
    for i from 2 to n - 1:
        if (n mod i) = 0, return false
    return true
顯然，這個算法在傳統時間複雜度計算方法中是多項式時間的。我們不妨認爲它的傳統時間複雜度是。然後我們再來分析這個問題的輸入規模，可能有的同學會說，對於32-bit整數，這個輸入規模不就是32嗎？這話雖然沒錯，但是因爲在這個問題中，輸入規模完全依賴於的大小，所以的範圍不再限制在32-bit整數的範圍內，而是要探討當更大時對數據規模的影響。我們知道，保存一個整數所需要的bit位數，因此，在標準的時間複雜度中，此算法的複雜度變爲了!這已經不再是多項式時間，而是一個指數時間。

我們可以從下面這個例子中直觀感受一下這種指數時間的增長速度：
對於一個二進制串：
10001010101011
我們記指數時間複雜度算法運行時間爲T。
然後，我們在二進制串後面僅僅增加一位：
100010101010111
這時，算法運行時間會變爲2T(至少)！因此，我們僅僅增加幾個bit 就會使得算法運行時間成倍成倍的增長。

... ...

最後我們來說僞多項式時間的定義：
如果一個算法的傳統時間複雜度是多項式時間的，而標準時間複雜度不是多項式時間的，則我們稱這個算法是僞多項式時間的。